Глава 8. Приложения.

§1 Комплексный потенциал

Рассмотрим плоское поле

Соленоидальное поле ( без источников и стоков, поток через замкнутую кривую равен нулю ) . Тогда для формы выполнены условия полного дифференциала , поэтому существует функция , для неё

(1)

Определение. Функцией тока плоского соленоидального поля называется дважды непрерывно дифференцируемая функция v, удовлетворяющая соотношениям (1).

Функция тока находится по формуле

1. Потенциальное ( безвихревое поле ) . В этом случае существует потенциал

.

2. Поле и потенциальное и соленоидальное. В этом случае, как это следует из 1) и 2), выполнены условия

(2),

которые являются условиями Коши-Римана для функции

.

Эта функция называется комплексным потенциалом данного поля. Отметим, что в плоском поле без источников и вихрей функция тока и потенциал являются гармоническими сопряженными функциями. Как это следует из 1)-2)

Для такого поля поток

3. Восстановления функции тока по потенциалу.

Если потенциал u является гармонической функцией, то форма –Qdx+Pdy является полным дифференциалом и функция тока v восстанавливается по формуле

Аналогичным образом может быть восстановлен потенциал u по функции тока v, если она гармонична.

§2 Операционное исчисление

Дана задача Коши

(1)

Будем предполагать, что и вместе со всеми производными до n-го порядка являются оригиналами. Положим . Из свойств преобразования Лапласа следует, что

Отсюда, применяя преобразование Лапласа к (1) получим

, или

.

Таким образом,

, находя оригинал для функции , получим решение задачи Коши.

Таблица основных свойств преобразования Лапласа

Таблица некоторых преобразований Лапласа

	Оригинал	Изображение
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Пример 1. , начальные данные . Отметим, что

, поэтому

Согласно 5 из таблицы ,

согласно 4 из таблицы ,

согласно 6 из таблицы , отсюда, используя свойство интегрирования оригинала, получим , откуда

Окончательно

Пример 2. , нулевые начальные условия.

.

Откуда

Пример 3. , нулевые начальные условия.

Оригинал находим по второй теореме Хевисайда

. Сумма всех вычетов будет равна

Тогда

Пример 3. , нулевые начальные условия.

По второй теореме Хевисайда

Пример 4. , нулевые условия. Используя 4 из таблицы, получим . По второй теореме Хевисайда

Пример 5. , нулевые начальные условия.

, по второй теореме Хевисайда

Свойство запаздывания дает

Окончательно

Пример 7.

, нулевые начальные условия. Имеем

, далее

и

83