Глава 7. Преобразование Лапласа.
Введение. Интегралы, зависящие от параметра.
Пусть С – кусочно гладкая, не ограниченная в одну сторону, кривая
Рис. 7.1.
Пусть
определена при
( некоторая область ) и
.
Интеграл от параметра определяется по
формуле
Этот интеграл называется сходящимся равномерно в D, если
Признак Вейерштрасса. Если
для
действительно-значная функция,
сходится,
то
сходится
равномерно на D.
§1 Преобразование Лапласа.
Определение.
Комплекснозначная функция
называется оригиналом, если
при
t
<
0.в любом интервале (a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно будет требоваться выполнение условия Липшица
,
для всех
на интервалах непрерывности функции
(*)
Число
,
S
– множество тех s,
для которых выполнено условие (*),
называется показателем роста оригинала.
Пример. Функция Хевисайда
,
показатель роста равен нулю.
Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=x+iy, определяемую равенством
Пишут
.
Замечание.
Отметим, что если
оригинал, то и
– также оригинал. Кроме того, интеграл
будет сходиться равномерно по параметру
в любом множестве
.
Это следует из признака Вейерштрасса с учетом неравенств:
,
где
из
неравенства
выбрано достаточно малым так, что
.Для
функции имеется оценка:
.
Рис. 7.2.
Теорема
1. Для любого оригинала
с показателем
,
изображение
определено в полуплоскости
, является в этой области аналитической
функцией, стремящейся к
0
при
(
равномерно относительно
).
При этом
Рис. 7.3.
Доказательство.
Сходимость
интегралов
и
следует из сделанного замечания.
Обозначим
,
.
Интегралы, полученные формальным
дифференцированием
сходятся
равномерно на любых отрезках изменения
параметров (по параметру x,
отрезок,
где имеет место равномерная сходимость,
должен лежать в области x
> s0),
поэтому исходные интегралы можно
дифференцировать по параметру и выполнены
условия Коши Римана. Далее, при
будет выполнено:
и
Следствие.
Теорема
2. Если
(f
– кусочно гладкая ),
то в точках непрерывности
имеет место равенство
,
где
интеграл берётся вдоль любой прямой
,
в смысле главного значения
Рис. 7.4.
(без доказательства).
Теорема
3 (
Достаточные условия существования
оригинала
).
Если F(p)
аналитична в
и
при
,
тогда интеграл
не зависит от a,
является оригиналом и
.
(
только формулировка ).
§2 Свойства преобразования Лапласа
В этом
параграфе везде под
понимается
(H
- функция Хевисайда ).
Отметим,
что
Линейность.
2) Свойство
подобия. При
.
Действительно
3) Свойство запаздывания.
Для
выполнено:
.
Действительно
Как уже отмечалось,
,
если взять
,
то
Дифференцирование оригинала
или
:
.
Действительно
Следствие.
.
Доказательство. Справедливы равенства
Далее, по индукции, доказывается равенство:
.
Интегрирование изображения
Если
и функция
является
оригиналом, то
Доказательство.
Интегрирование оригинала.
Если , то
Доказательство.
откуда
Свертка оригиналов и умножение изображений.
Определение.
Отметим,
что
,
Сделать замену
. Откуда
Действительно
Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.
Умножение оригиналов, свёртка изображений
без доказательства.
Свойство смещения
Доказательство из определения.
Первая теорема разложения (Теорема 1 Хевисайда).
Если
F(p)
аналитична в {R<|p|<}
и
то
оригиналом является функция
.
Доказательство.
- устранимая особая точка, поэтому
Положим
,
аналитична в круге
,
поэтому неравенство Коши даёт для
коэффициентов
и
.
Таким
образом, исходный ряд мажорируется
сходящимся степенным рядом в любом
круге. В этом случае ряд
можно почленно интегрировать
по
свойству 4) при
,
поэтому
Вторая теорема Хевисайда. Если
F(p) мероморфна в некоторой полуплоскости
и F()=0
при
равномерно относительно
Тогда
оригиналом для F
служит функция
по полюсам функции F
в порядке убывания их модулей.
Доказательство.
При
сделанных предположениях для оригинала
выполнено
равенство:
.
Обозначим
через
часть окружности Cn,
расположенную слева от прямой
,
через
обозначим точки пересечения Cn
с этой прямой и через
контур, составленный из
и
,
проходимый против часовой стрелки.
Рис. 7.5.
Положим:
,
тогда, если
,
то
.
Рис. 7.6.
Делая
в интеграле
замену
,
получим:
.
По лемме Жордана при t
>
0 будет выполнено:
.
Поэтому при t > 0
,
ч.т.д.
Следствие.
Если функция
дробно-рациональная
и дробь правильная, то оригиналом ее
служит функция
,
где pk полюсы функции F(p) кратностей nk , сумма берется по всем полюсам.