Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов

§1 Вычеты

1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке

Пусть изолированная особая точка. В этом случае существует кольцо , где f – аналитическая функция.

Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке называется величина

, где - окружность достаточно малого радиуса, положительно ориентированная.

Определение корректно. Действительно, для контуров, лежащих в кольце K интеграл не меняется при деформациях окружности.

По теореме Лорана .

Откуда следует, что , таким образом,

.

Пусть a – полюс порядка n , в этом случае, как мы видели, справедливо разложение:

, где .

Тогда и

. Таким образом,

В частности, для полюса первого порядка

.

Еще одна формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка:

Пусть - аналитические, ( имеет нуль кратности один). Тогда

.

Действительно, что при сделанных предположениях . Кроме того, , откуда следует, что . Поэтому

2.Вычет в изолированной особой точке .

Если изолированная особая точка функции f, то существует кольцо , где f аналитична.

Определение . Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке называется величина

,

где - окружность с центром в начале координат, радиуса , проходимая по часовой стрелке (отрицательно ориентированная и достаточно большого радиуса).

Для изолированной особой точки из теоремы Лорана следует, что , где . Поэтому .

3.Теоремы о вычетах.

Основная теорема. Пусть D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой Жордана , f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа изолированных особых точек a_k, k=1,…,n, f непрерывна в . Тогда

.

Окружаем каждую точку a_k достаточно малой окружностью , ориентированной положительно.

Рис. 6.1.

Тогда , откуда и следует требуемое утверждение.

Теорема о сумме вычетов. Если функция f аналитична в С кроме конечного число точек , то

.

Выберем окружность C достаточно большого радиуса так, чтобы все точки попали внутрь. По предыдущей теореме .

4. Принцип аргумента.

Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана , f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов a_k, , k=1,…,p, порядков , f непрерывна в в , кроме нулей , кратностей . Тогда

,

где суммарный порядок полюсов, а суммарная кратность нулей.

Доказательство.

Выберем достаточно малые окрестности нулей, границы которых и окрестности полюсов функции f(z) с границами .

Рис. 6.2.

Как это уже не однократно отмечалось:

.

В некоторой окрестности нуля b кратности справедливы равенства:

Вклад в сумму соответствующего слагаемого: .

Аналогично, в некоторой окрестности полюса будет выполнено:

и соответствующее слагаемое будет равно: , откуда

Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях предыдущей теоремы:

(D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов a_k, , порядков непрерывна в в , кроме нулей b_k кратностей . ) Справедливо равенство

где - приращение аргумента функции f при однократном обходе точкой z границы ( область слева ).

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен P(z)=P_n(z) в комплексной плоскости имеет ровно n корней (учитывается суммарная кратность нулей).

Доказательство. следовательно, все нули лежат в некотором круге радиуса R, пусть число нулей с учётом кратностей равно N. Тогда , далее

, где аналитична в . Поэтому имеем разложение в ряд Лорана , тогда

, откуда следует .