§3 Ряды Лорана

Определение. Ряд вида называется рядом Лорана. называется правильной частью, называется главной частью ряда Лорана. Областью сходимости такого ряда ( в случае наличия членов с отрицательными показателями ) будет кольцо , в частности, может быть (проколотая окрестность точки z₀).

Из свойств степенных рядов следует, что ряд Лорана сходится равномерно на любом компакте, лежащем в кольце , в частности, ряд Лорана можно почленно интегрировать по кривым, лежащим в кольце сходимости. Из соответствующего свойства степенных рядов следует возможность почленного дифференцирования ряда Лорана.

Теорема Лорана. Если функция f(z) – аналитическая в кольце , то

, где

С_ - окружность

Доказательство. Выберем кольцо так, что . Окружности с центром z₀ и радиусами r, R , положительно ориентированные, обозначим C_r , C_R .

Рис. 5.5.

По формуле Коши для области (кольца) с границей при выполнено равенство

В первом интеграле и

,

(2)

Для

Интегралы и равны, соответственно, (в области аналитичночти контуры можно деформировать без изменения величины интеграла).

Теорема. Разложение в ряд Лорана единственно.

Доказательство. Отметим, что справедлива

Лемма. Имеет место равенство

Доказательство леммы. Выполнены равенства:

Откуда и следует требуемое равенство.

умножая на , получим . Интегрируя последнее равенство по , получим . Возможность почленного интегрирования обеспечивается равномерной сходимостью на любой окружности внутри кольца.

Теорема. Для коэффициентов ряда Лорана имеет место неравенство

.

Доказательство.

.

§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.

Определение. называется изолированной особой точкой ( и.о.т.) функции f, если существует проколотая окрестность этой точки, где функция аналитична, а в самой точке a функция не является аналитичной.

Пример. z+1/(z-1) изолированные особые точки 1, .

Определение. И.о.т. a называется устранимой, если существует конечный предел , полюсом, если , существенно особой точкой, если предел не существует.

Теорема. Для того, чтобы и.о.т. была устранимой необходимо и достаточно, чтобы разложение в ряд Лорана в этой точке не содержало отрицательных степеней z – a .

, т.е., отсутствовала главная часть.

Достаточность очевидна. Если , то .

Необходимость. Для коэффициентов разложения в ряд Лорана имеет место неравенство . Тогда при будет .

Следствие. После доопределения по непрерывности функция становится аналитичной в данной точке.

Теорема. Для того, чтобы и.о.т. была полюсом необходимо и достаточно, чтобы в разложении в ряд Лорана присутствовала главная часть следующего вида: .

Достаточность.

и .

Необходимость. Дано , тогда a есть изолированный нуль функции и в окрестности точки a.

, так как аналитическая в точке a функция.

Определение. Порядком полюса a функции f называется кратность нуля a функции .

Следствие. Для полюса a порядка n, имеет место разложение

Определение. Порядком полюса функции f(z) называется натуральное число n, равное наибольшей из положительных степеней z с отличными от нуля коэффициентами в разложении.

, n – порядок полюса .

Теорема Соходского. Если - существенно особая точка функции f(z), то для .