18. Характеристический и минимальный полином. Теоремам Гамильтона-Кели.

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

,

где   есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс),   — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

где   фиксированные коэффициенты, а   — переменная.

Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН

матрицы   над полем К - многочлен над полем К

Степень X. м. равна порядку квадратной матрицы А, коэффициент b₁ равен следу матрицы .(b₁ = tr A = a₁₁+ а ₂₂+ .. . +а _пп),коэффициент b _т равен сумме всех главных миноров т- гопорядка, в частности b_n=detA. Уравнение   наз. характеристическим уравнением матрицы А

Свободный член равен определителю. a_nƛⁿ+…+ a₁ƛ¹ +a₀=0 – полином n-ой степени.

Некоторый многочлен называется минимальным если он является анулирующим с наименьшей степенью.

Теорема Гамильтона — Кели Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Если   — квадратная матрица и   её характеристический многочлен, то  .

Разные матрицы могут иметь один и тот же характеристический полином. Коэфиценты называются инварианты.

Матрицы у которых одно и то же характеристическое уравнение эквивалентны.

19. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в линейном пространстве X: y = A(x), ∀x ∈ X, y ∈ X.

Число λ называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой вектор x, что справедливо равенство A(x) = λ·x. Любой ненулевой вектор x ≠0, удовлетворяющий этому уравнению, называется собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ.

A(x) = λ·x, x ≠0, x ∈ X.

Число λ = 0 является собственным значением матрицы A:

Найдём собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению λ = 0 — то есть найдём нетривиальное решение однородной системы линейных уравнений (A − 0 ·E)·x = 0, x ≠0 :

Действительно, e₁ = (0, 5, −1) — собственный вектор, отвечающий собственному значению λ = 0:

20. Жорданова форма матрицы линейного оператора.

Определение. Жордановой клеткой порядка называется матрица порядка вида

Жордановой матрицей называется матрица, состоящая из жордановых клеток.

Число клеток равно числу собственных векторов.

• У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.

• Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.

• Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.

21. Жорданов базис. Присоединенные векторы, жордановы цепочки.

Определение. Пусть λ0 - собственное значение преобразования A и пусть векторы h1,h2,....,hk таковы, что Тогда h1 - собственный вектор преобразования A, а векторы h2,...,hk называют присоединенными векторами к вектору h1. Система векторов h1,...,hk называется жордановой цепочкой для собственного значения λ0, а число k называется длиной жордановой цепочки. Теорема Жордана. Каково бы не было линейное преобразование A в комплексном пространстве , всегда существует базис , составленный из жордановых цепочек для всех собственных значений.

Элемент x называется присоединенным вектором опе-

ратора A, отвечающим собственному значению _, если для некоторого натурального числа

m ≥ 1 выполняются соотношения

(A − _I)m−1x 6= 0, (A − _I)mx = 0.

При этом число m называется высотой присоединенного вектора x. Иными словами, если

x—присоединенный вектор высоты m, то элемент (A − _I)m−1x является собственным

вектором оператора A. Очевидно, собственные векторы—это присоединенные векторы

высоты 1 (здесь (A − _I)0 = I).

Рассмотрим последовательность векторов e1, e2, . . . , em, для которых выполнены соотношения (e1 6= 0):

Ae1 = _e1,

Ae2 = _e2 + e1,

Ae3 = _e3 + e2,

...

Aem = _em + em−1

22. Сопряженные операторы. Матрица сопряженного оператора в произвольном базисе.

Пусть E – конечномерное евклидово пространство.

Определение. Оператор A* :E →E называется сопряженным к

линейному оператору A:E →E , если для любых векторов x, y∈E

выполняется равенство (Ax, y) = (x, A* y).

Утверждение. Оператор A* , сопряженный к линейному оператору A,

является линейным.

Пусть U—Унитарное пространство, A—линейный оператор в U. Оператор A∗ называется сопряженным по отношению к линейному оператору A, если для любых векторов x, y ∈ U выполняется равенство

(Ax, y) = (x,A

∗

y).

Теорема. Сопряженный оператор A∗ обладает следующими свойствами:

1) A∗ —линейный оператор;

2) (A + B)∗ = A∗ + B∗;

3) (αA)∗ = ¯αA∗;

4) (AB)∗ = B∗A∗;

5) (A∗)∗ = A.

23. Самосопряженные операторы. Матрица и ее жорданова форма для самосопряженного оператора.

24. Виды операторов в евклидовых и унитарных пространствах.

25. Симметричные, ортогональные и нормальные операторы.

Свойства.

Свойства.

26. Ядро и образ линейного оператора. Свойства.

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:

Def(A) + Rg(A) = n; 

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

27. Понятие квадратичной формы. Канонический и нормальный вид.