Для ортонормированных векторов матрица Грама – единичная

8. Ортогонализация совокупности векторов.

процесс ортогонализации,- алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс ортогонализации Шмидта (или Грама - Шмидта), при к-ром по линейно независимой системе a_l,...,a_kстроится ортогональная система b_l,...,b_k такая, что каждый вектор b_i (i=1,...,k).линейно выражается через a_l,...,a_i

Полагают b₁ = a₁, и, если уже построены векторы b₁,b₂,..,bi _{− 1}, то

Геометрический смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор bi является перпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов a₁,...,ai _{− 1} до конца вектора ai.

9.Подпространства евклидова(унитарного) пространства.

10. Ортогональное дополнение и ортогональная проекция. Прямая сумма подпространств.

Говорят, что линейное пространство   есть прямая сумма своих подпространств  :

если каждый вектор   представляется в виде суммы

и притом единственным образом.

Комментарий

Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается  ). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*) для каждого вектора   равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для   в сумме (*) все слагаемые  ).

Критерии прямой суммы

• Каждый вектор   раскладывается в сумму (*), причём   (Если   конечномерно)

• Любая система из   ненулевых векторов, принадлежащих различным подпространствам, линейно независима.

• Пересечение каждого из подпространств   с суммой остальных есть нулевое пространство (пространство, состоящее только из нулевого вектора).

• Если линейное пространство   обладает базисом, то объединение базисов подпространств  ) есть базис в  .

11. Линейные многообразия. Задание линейных

Решения любой совместной системы линейных уравнений с n неизвестными ранга r образуют линейное многообразие пространства R_n размерности d=n-r и обратно

Линейное пространство путем параллельного сдвига образует линейное многообразие.

12. Расстояние от точки до линейного многообразия.

Расстоянием от точки, заданной вектором х, до линейного многообразия Р=L+x₀ называется минимум расстояний от данной точки до точек многообразия, то есть минимум длин векторов x-u, где u-вектор многообразия P.

Расстояние равно длине ортогональной составляющей z вектора x-x₀ относительно линейного подпространства L, параллельным сдвигом которого получатся многообразие P.

13. Расстояние между многообразиями.

Расстоянием между двумя линейными многообразиями Р₁=L₁+x₁ и P₂=L₂+x₂ называется минимум расстояний любых двух точек, одна из которых принадлежит P₁ , а другая Р₂ .

Расстояние равно длине ортогональной составляющей вектора

x₁-x₂ относительно линейного подпространства L=L₁+L₂

14. Ортонормированный базис. Преобразование координат при ортонормированном базисе.

 Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e₁, e₂, ..., e_n — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x_i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x_i =(x, e_i), i = 1, 2, ..., n.

15. Линейное отображение векторного пространства. Примеры.

Лине́йным отображе́нием векторного пространства   над полем   в векторное пространство   (лине́йным опера́тором из   в  ) над тем же полем  называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

,

.

для всех   и  .

Пример 1. Нулевое линейное отображение  , заданное правилом   для всех  .

Пример 2. Тождественное линейное отображение   задается формулой   для всех  .

Пример 3. Отображение   векторного пространства   из примера 4 в одномерное вещественное пространство  , является линейным отображением векторных пространств.

16. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .

В этих пространствах определены базисы e = {e₁, ..., e_n} и f = {f₁, ..., f_m}.

Пусть A(e_i ) = a_1i·f₁ + a_2i·f₂ + ...+ a_mi·f_m — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису fпространства Y, i = 1, 2, ..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {a_ij}= {A(e_j )_i}:

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A· x,

 Пусть V – линейное пространство, А – линейный оператор из ,  и  – два базиса в V и  – формулы перехода от базиса  к базису . Обозначим через  матрицу перехода от базиса к базису. Отметим, что ранг матрицы С равен n. Пусть  и  – матрицы оператора А  в указанных базисах.

Теорема 7.1. Матрицы А и  оператора А в базисах  и  связаны соотношением .

Доказательство. При воздействии линейного оператора А вектор  пространства   переводится в вектор  этого пространства, т.е. справедливо равенство

= А                                                    (7.3)

(в старом базисе) и равенство

= А                                                  (7.4)

(в новом базисе). Так как  – матрица перехода от старого базиса к новому, то

                                                 (7.5)

                                                (7.6)

Умножим равенство (7.5) слева на матрицу , получим А  = АC  и с учетом (7.3)  = АC . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (7.6), получим: С  = АC  или  = С^–1 АC . Сравнивая найденное выражение с равенством (7.4), получим доказываемую формулу.

Отсюда следует, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса.

17.Действия над линейными операторами. Обратный оператор.

Пусть А  и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В) А +В  для любого   из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:

1. А + В = В +А.

2. (А +В) +Е = А + (В + Е).

3. А + О = А  для любого А.

4. (–А) + А = О.

Произведением  линейного  оператора  на  скаляр  α  назовем оператор αА, определяемый равенством  А) А . Ясно, что αА – тоже линейный оператор.

Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:

1.  А = А; 0А = О; (–1)А= –А.

2.  βА)  А.

3.  А =  А + βА.

4.  (А + В) =  А +  В.

Обозначим через   множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Произведением линейных операторов А и В из   называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В) А(В  для любого   из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1.  АВ) = ( А )В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ,  Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.

Линейный оператор В  из  называется обратным для оператора А из , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А^–1. Для того чтобы линейный оператор А из  имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.

Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам  и  отвечают различные элементы А  и А . Для того чтобы линейный оператор А  из  имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.