1. Векторная ф-ия скалярного аргумента. Опред, способы представления, производная. F:X→Y Rⁿ={(x₁…x_n)|x_iэR} 1)M(x₁, x₂,…x_n) 2) 3) Если Y Rⁿ; x R, то ф-ия называется векторной ф-ей скалярного аргумента. F:R→Rⁿ. мн-во значений ф-ии – гадограф ф-ии. R: Rⁿ: Производ.: ;∆x= ; - производ вектор.ф-ии в точке t_0. Чтобы вычислитб производ вектор.ф-ии в t₀ надо вычислить производ всех координат. Механич. смысл: ∆x-перемещение точки за ∆t; ∆x/∆t- сред.скорость за ∆t, предел lim∆x/∆t- мгновенная скорость.

2. Различные способы задания ф-ии нескольких переменных. Линии уровня. Примеры.

F=ρ(x₁,x₂…x_n) f:Rⁿ→R. Rⁿф-ия нескольких переменных. Z=f(x₁,x₂…x_n)=f(M)=f( ). f(M)-ф-ия от точки M, где M(x₁,x₂…x_n), f( )- ф-ия отнекотор. ( ), где =(x₁,x₂…x_n). Rⁿ-мн-во упорядочен.наборов(упорядочен. точек или мн-ва векторов). Z=f(x;y) – простейшая ф-ия f:Rⁿ→R. Ф-ии с несколькими перемен.: 1) f=(x₁,x₂…x_n)=c₁x₁+…+c_nx_n. => f –стоимость набора x=(x₁,x₂…x_n). 2)точка над уровнем моря. L-линия (поверхность) уровня «с» для ф-ии z=f(M), если она состоит из точек, для которых выполним. Равенство f(M)=c L{M|f(M)=c}

3. Предел и непрерывность ф-ии нескольких переменных. Св-ва ф-ии непрерывной на замкнутом ограниченном мн-ве.

 _Е >0 δ>0: [f(вык.U(a)≤ U _Е (A)] lim (t)=   _Е >0 δ>0; [ (Uδ(t0))≤U _{Е( )}]; - когда lim координатных ф-ий равны координат. предельного вектора. F(x)-непрерыв.в точ.x0: 1) 2) ∆f=f(x0+∆x)-f(x) ∆f→0 если ∆x→0. F(x) непрерыв., если она неперерыв. В каждай точ.этого мн-ва: x(t) интегрир.в точ. t0, если , вектор f непрерыв.в точ. t0 тогда, когда координат.ф-ии неперерыв.в этой точ.; векторная ф-ия неперерыв., если она непрерыв.в каждой точке этого мн-ва. Открытая область+своя граница=замкнутая область. Св-ва предела (верны для + - *): 1) lim(f+g)=limf+limg 2) lim(f-g)=limf-limg 3lim(f*g)=limf*limg 4) lim(f/g)=limf/limg. Непрерывность.т о непрерывности: 1)непрерыв.,если lim ф-ии = значен.ф-ии в каждой точ. где она определена. Z=f(M) M0 limf(M)=f(M0) M→M0. Приращен: ∆=f(x,y): ∆z=f(x+∆x; y+∆y)-f(x,y) 2) lim∆z=0 где ∆x, ∆y→0 т.е. lim приращен.ф-ии соответст. Бесконечномалое приращен.ф-ии. Теорема: если ф-ия непрерыв.в замкнутом огранич.области D, то она принемает в этой области наибол.и наимен.значения. док-во: пусть f: Rⁿ→К непрерыв. D≤ Rⁿ –замкнутая окрестность. Тогда существуют такие x_M и x_m, Для которых f(x_M)=minf(x) x В и f(x_m)=maxf(x) x В. => если f неопределенна в замкнутом огранич. Обл., то M и m наибол.и наимен. Значен. Ф-ии, тогда для любого промежуточного значен. Сущест.точ. области D, для которых f(x_c)=c, т.е. ф-ия принемает все промежуточные значения между наибол.и наимен.значениями.

4. Частные производные ф-ии нескольких переменных.

Z=f(x;y). Ее приращение ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y) - полное приращение. ∆xz=f(x+∆x;y)-f(x;y) и ∆yz=f(x;y+∆y)-f(x;y) – частные производные по приращенным x и у. -частная производная ф-ии z по x. -част. производ.ф-ии z по x. - част. производ. Ф-ии z по y.

5. Дифференциал ф-ии в точке. Дифференциал, как линейная и главная часть приращения ф-ии. Св-ва дифференциала.

*∆y=A*∆x+o(∆x) (A*∆x-диффер. Dy=y’∆x) ф-ия диффер-кма, если она представлена в виде формулы *. (1)Z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y) ф-ия диффер.в точ.M(x;y), если ее полное приращ. представлено в виде ∆z=A∆x+B∆y+o(∆ρ) ∆ρ= A∆x+B∆y=dz диффер.ф-ии. Найдем A и B: положим B=0 ∆y=0: ∆_xz=f(x+∆x;y)-f(x;y)=A∆x+o(|∆x|) /*∆x; ∆_xz/∆x=A+d|∆x|/∆x ∆x→0, тогда ∂z/∂x=A аналогично ∂z/∂y=B d=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy формула 1ого диф-ала.

Теор.: если част.производ. f’_x и f’_y непрерыв. и диффер.в окрест.точ.М, то ф-ия z=а(чжн) диффер.в точ.М. Док-во: запишем приращ.в виде ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x+∆x;y)+f(x+∆x;y)-f(x;y)=( f(x+∆x;y+∆y)-f(x+∆x;y)=φ(y+∆y)-φ(y); f(x+∆x;y)-f(x;y)=ψ(x+∆x)-ψ(x))по т.Лагранжа=f'_y(x=∆x;Ɵ₁) ∆y+f’_x(Ɵ₂;y) ∆x=(f’_y(x;y)+α) ∆y+(f’_x(x;y)+β) ∆x=f’_x∆x+f’_y∆y+β∆x+α₀∆y (∆ρ(ρ*∆x/∆ρ+α*∆y/∆ρ)=γ∆ρ=o(∆ρ))→ψ(x+∆x)-ψ(x)=f(x+∆x;y)-f(x;y)