3.2.2. Интегральная формула Коши.

Теорема 3. Пусть голоморфна в области G и Г – спрямляемая жорданова замкнутая кривая, целиком лежащая в G, тогда , лежащего внутри кривой Г:

(1)

Формула (1) называется интегральной формулой Коши.

Рассмотрим функцию по переменной (z – фиксированная точка лежащая внутри r ). Она аналитична в G\{z}. Рассмотрим круг и выберем настолько малым, что бы этот круг находился внутри Г. Рассмотрим двусвязную область с контуром . Для данной функции применим следствие из теоремы Коши. Тогда Поскольку аналитична в точке z, а следовательно и непрерывна в ней, то , такое что при имеем . Выберем , тогда . Но, как легко видеть , J – не зависит от ,

Поэтому последнее неравенство при любом возьмем лишь если J=0

Используя ИОТК можно доказать следующую теорему:

Теорема 4. Пусть функция аналитична в области G и непрерывна в , тогда (2)

G – односвязная область, ограниченная спрямляемой жордановой кривой.

Замечание 1. Интегральные формулы Коши (1) и (2) являются основными формулами в теории аналитических функций.

Замечание 2. Если область G является многосвязной, и Г – ее граница, то переходя к односвязной области и дословно повторяя рассуждения, проводимые с выше, получим:

(3).

4.1.4 Теорема Лиувилля о нулях аналитической функции.

Определение: Точка в которой аналитическая функция обращается в нуль, называется нулем аналитической функции.

Теорема: Всякая функция аналитическая в области G и отличная от константы, может иметь в этой области не более чем счетное число нулей.

В силу теоремы единственности нули аналитической функции не могут иметь предельных точек внутри области G (в противном случае ). Нули могут иметь предельную точку лишь на . Рассмотрим области . В силу предыдущего рассуждений имеется лишь конечное число нулей. Их множество обозначим через . Тогда множество P всех нулей функции

равно . Последнее множество счетно.

Определение: Если разложение аналитической функции в некоторой точке z=b отсутствуют первые m членов, т.е. разложение начинается с m-ой степени z-b, то говорят что точка z=b является нулем функции порядка m .

Теорема. Пусть . Тогда (z=b – нуль кратности m ) .

Доказательство вытекает из того, что степенной ряд для есть ее ряд Тейлора и, следовательно . Но тогда

ЛЕММА. (Неравенство Коши для коэффициентов Тейлора).

Пусть S(z) – сумма степенного ряда , радиус сходимости которого равен R>0. Тогда для коэффициентов Тейлора этого ряда имеет место неравенство: Если М>0 – такое число, что .

По формуле для коэффициентов Тейлора имеем:

, где . Переходя к примеру при , получим неравенство Коши.

Воспользуемся этой леммой для доказательства следующей теоремы Лиувилля.

Теоремы. Если некоторая функция аналитична во всей комплексной плоскости и ограничена на по модулю, то она есть постоянная функция.

Рассмотрим и разложим в окрестности этой точки в ряд Тейлора:

В силу условия теоремы оценка для коэффициентов справедлива при любых

Переходя при n=1,2,… к пределу при , получаем, что

Теорема (об аналитичности суммы степенного ряда). В круге сходимости {z| |z|<R} степенного ряда (1), его сумма S(z) является голоморфной функцией. При этом производную функции S можно вычислить почленным дифференцированием ряда(1), т.е. (2)

Замечание об аналитичности суммы ряда: . Сумма этого ряда определена в круге {z: |z|<1}, а аналитична также и всюду, кроме точки z=1.

Доказательство теоремы:

1. Покажем, что радиус сходимости ряда(2) совпадает с радиусом сходимости ряда(1) .

2. Далее, покажем, что S(z) является дифференцируемой.

Пусть - произвольная точка из круга сходимости, тогда существует точка . Поскольку при ряд(2) сходится абсолютно, то ряд сходится. Следовательно остаток ряда удовлетворяет неравенству (3). Тогда

= +

Из неравенства(3) следует, что последовательность сл. , а выражение, стоящее под знаком модуля, является непрерывной функцией и при стремящейся к 0. Поэтому нерв. сл. )…

Замечание для ряда(2) также выполняются все условия данной теоремы, поэтому применяя теорему к функции S’(z) получаем, что и т.д.

Т.о., сумма степенного ряда является функцией бесконечно дифференцируемой в круге сходимости и при этом -я производная этой функции находится путем -кратного дифференцирования ряда(1).

Теорема (теорема Лорана) Пусть функция аналитична в кольце (4)

Ряд (4) называется рядом Лорана, а разложение (4) – разложением Лорана: При этом , где n=…,-1,0,1,…, a - произвольная окружность с центром в точке , лежащая в кольце .

Рассмотрим кольцо , где . К этому кольцу применим ИТК для двусвязной области. Тогда ,

которое равномерно сходится по . Аналогично, . С учетом данных разложений, а так же возможности почленно интегрировать равномерно сходящийся ряд получаем:

По пути был осуществлен переход от это позволяет сделать ИТК.

Замечание. Перепишем ряд (4) в следующем виде:

- -главная часть ряда Лорана - - правильная часть ряда Лорана

Если главная часть отсутствует, то ряд Лорана превращается в ряд Тейлора функции , при этом будет аналитична не только в кольце, но и в круге.

5.1.2.Основная теорема о вычетах.

Теорема 1. Пусть f аналитична в замкнутой односвязной области со спрямляемой границей за исключением конечного числа изолированных особых точек , целиком лежащих в G, тогда:

(1).

Т.к. G – открытое множество, то .

Обозначим через . В области функция является аналитической, тогда по интегральной теореме Коши для много связной обла­сти имеем:

Следствие. Пусть в расширенной комплексной плоскости имеет конечное число изолированных особых точек( ). Тогда .

Выберем центром в точке О и со столь большим радиусом, чтобы все конечные изолированные точки оказались внутри нее. Тогда .

С другой стороны, вычет . Складывая обе части равенства, имеем: .