2.4.2. Условие Коши-Римана.

Теорема 2. Для того, что бы функция была дифференцируема в точке z необходимо что бы функции имели в точке частные производные и при этом выполнялись следующие условия: . Условие Коши-Римана (или условие Эйлера-Даламбера).

1)

2)

Поскольку - дифференцируема в точке z, то существует конечный , но тогда этот предел существует и в частном случае, когда и . Но в этом случае можно вырозить через . В самом деле если , то условие влечет и С другой стороны, если , то 2.4.4. Критерии дифференцируемости функции в точке (через условие Коши – Римана)

Теорема 3 Для того что, бы функция , определ., в окрестности точки -дифференцируема в этой точке, необходимо и достаточно что бы выполнялись следующие условия:

1) дифференцируемы как функции 2-ух действительных переменных в точке

2) В точке существуют частные производные от и эти производные в точке удовлетворяют условию Коши-Римана .

(Необходимость)

предположим что функция -дифференцируема в точке z. Из теоремы 2 следует, что в точке существуют частные производные от и выполняются условия Коши-Римана. Остается доказать, что дифференцируемы в точке . Согласно определению -дифференцируемости функции, имеем: . Обозначим . Тогда

т.е. дифференцируемы в точке .

(Достаточность)

Предположим что выполняются условия 1) и 2) . Из 1) .Из 2) - это означает что - дифференцируема в точке z, причем (здесь используется условии Коши-Римана) или в силу условия Коши-Римана,

Интегральная теорема Коши.

Теорема 1.(Интегральная теорема Коши) Пусть функция голоморфна в односвязной области G и пусть r – замкнутая, спрямляемая жорданова кривая, целиком лежащая в G, тогда (1)

Доказательство этой теоремы есть во всех учебниках по ТФКП. Т.к. они несколько громоздки, то для экономии времени рассмотрим не самый общий случай. Из голоморфности функции вытекает существование . Дополнительно мы будем считать, что эти частные производные еще и непрерывны. Тогда мы сможем воспользоваться формулой Грина и доказательство упрощается.

Напоминание. Пусть G – односвязная область с границей L и пусть функции непрерывны вместе со всеми частными производными в данной области. Тогда -Формула Грина. Для доказательства инт. т. Коши сведем интеграл к двум действительным криволинейным интегралам и применим к ним формулу Грина:

( в силу условия Коши - Римана, =0 в силу условия Коши – Римана ). Здесь G* обозначает область, ограниченную кривой r. и, значит, голоморфна в G*.

Теорема 2. (обобщ. инт. т. Коши) Пусть аналитична в односвязной области G и непрерывна в , тогда . (без доказательства)

Следствие Пусть - связная область, ограниченная контуром Г. Если непрерывна в и аналитична внутри области G, то =0 и , где

Соединим компоненты границ жордановыми дугами и в результате получим односвязную область . Применим к интегральную т. Коши для односвязной области и, учитывая, что жордановы дуги проходятся дважды в противоположном направлении, получим утверждение следствия.