10 Диаметральная плоскость, сопряженная данному неасимптотическому направлению.

ТЕОРЕМА 10.1. Геометрическим местом середин хорд поверхности второго порядка, параллельных вектору неасимптотического направления, является плоскость; эта плоскость называется диаметральной плоскостью данной поверхности, сопряженной хордам данного направления. Если поверхность второго порядка задана относительно аффинной системы координат общим уравнением  , а ее хорды коллинеарны ненулевому вектору   (неасимптотического направления), то уравнение диаметральной плоскости, сопряженной этим хордам, имеет вид

Доказательство такое же как и для кривых второго порядка (см. Теорема 11.1, книга "Общая теория кривых второго порядка").

Из уравнения   следует, что все диаметральные плоскости поверхностей второго порядка содержат геометрическое место ее центров, если оно не пусто.

Заметим, что вектор   не компланарен диаметральной плоскости, сопряженной его направлению, так как главный вектор плоскости   имеет координаты

откуда

Определение 10.1. Особым направлением относительно поверхности второго порядка называется направление прямой, параллельной всем диаметральным плоскостям этой поверхности.

ТЕОРЕМА 10.2. Пусть относительно аффинной системы координат задана поверхность второго порядка общим уравнением  . Тогда если это уравнение является уравнением центральной поверхности, то у нее нет особых направлений. Все остальные поверхности имеют особые направления. Для того чтобы ненулевой вектор   имел особое направление относительно поверхности  , необходимо и достаточно, чтобы его координаты удовлетворяли соотношениям

Доказательство. Из уравнения   следует, что вектор   имеет особое направление тогда и только тогда, когда выполняется равенство

или

где   --- любой вектор, не имеющий асимптотического направления. Так как всегда можно выбрать три не компланарных вектора  , имеющих относительно поверхности   неасимптотическое направление, то однородное относительно   уравнение   имеет три линейно независимых решения, а это возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты при   в уравнении   обращаются в нуль; таким образом, соотношения   выполняются. Если поверхность имеет единственный центр, то

и, значит, система   не имеет ненулевых решений, т.е. особых направлений нет.

Для всех остальных поверхностей   и система   имеет ненулевые решения. Если ранг матрицы равен 2 , то система   имеет ненулевые решения, но не имеет двух линейно независимых решений. Это означает, что поверхности   и   групп имеют лишь одно особое направление. Составляя систему  для простейших уравнений этих поверхностей, убедимся, что особое направление --- это направление оси $O'Z$ в простейших уравнениях этих поверхностей.

Если rank  , то система   имеет два линейно независимых решения. Все решения системы   являются всеми линейными комбинациями этих двух. Это значит, что для поверхностей   и   групп существует плоскость, такая, что любая прямая, параллельная этой плоскости, имеет особое направление и этими направлениями исчерпываются все особые направления этих поверхностей.