8 Цилиндрические поверхности.

Определение 8.1. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная параллельными между собой прямыми, называемыми ее образующими.

Если какая-нибудь плоскость, пересекающая все образующие цилиндрической поверхности, пересекает ее по линии  , то эта линия называется направляющей этой цилиндрической поверхности.

ТЕОРЕМА 8.1. Если в пространстве введена аффинная система координат, и уравнение   в плоскости  является уравнением некоторой линии  , то это уравнение в пространстве есть уравнение цилиндрической поверхности   с направляющей линией  , а образующие параллельны оси  . Доказательство. Пусть точка   лежит на цилиндрической поверхности  . Проведем через точку   прямую параллельную оси  . Пусть   точка пересечения этой прямой с плоскостью  . Тогда по определению цилиндрической поверхности получаем, что  . Но уравнение   не зависит от  , а тогда и координаты точки   удовлетворяют этому уравнению. Обратно, если   не лежит на  , то ее координаты не удовлетворяют уравнению  , а следовательно, и координаты точки   не удовлетворяют ему. Что и требовалось. ТЕОРЕМА 8.2. (обратная) Если   --- цилиндрическая поверхность, направляющей которой является плоская линия  , а образующие поверхности   параллельны некоторой прямой  , не лежащей в плоскости линии  , то существует система координат, в которой уравнение поверхности   имеет вид  . Доказательство. Введем аффинную систему координат  , совмещая плоскость   с плоскостью, в которой расположена линия  , и принимая за ось   --- ось, параллельную прямой  . Пусть   --- уравнение линии   в плоскости  . На основании предыдущей теоремы это уравнение в пространстве во введенной системе координат является уравнением цилиндрической поверхности  . ТЕОРЕМА 8.3. Для того чтобы поверхность второго порядка, заданная общим уравнением   являлась уравнением цилиндрической поверхности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства  . Доказательство необходимости. Если имеем цилиндрическую поверхность, то преобразованием системы координат ее уравнение может быть приведено к виду (согласно теореме 8.1):

Отсюда, вычисляя по   значения   и учитывая соотношения   и  , получаем требуемое.

Доказательство достаточности. Пусть  . Преобразуя данное уравнение к каноническому виду получим, что данная поверхность принадлежит к   или   группе, а все эти поверхности цилиндрические.

Таким образом цилиндрическими поверхностями второго порядка являются следующие поверхности 1. эллиптический цилиндр  ;

2. мнимый эллиптический цилиндр  ;

3. две мнимые пересекающиеся плоскости  ;

4. гиперболический цилиндр  ;

5. две пересекающиеся плоскости  ;

6. параболический цилиндр  ;

7. две параллельные плоскости  ;

8. две мнимые параллельные плоскости  ;

9. две совпавшие параллельные плоскости  .