4.4 Градиент. Производная по направлению.
Производная
функция в точке
функции
по
направлению
вычисляется как:
,
где
- градиент функции f
в точке
.
Градиент
функции представляет собой вектор,
координатами которого являются значения
производных по х, по у и по другим
переменным (если они есть) в точке, т.е.
.
Пусть
вектор
имеет
координаты
,
тогда
=
.
Кроме
того,
можно записать как
,
где
- косинус угла между вектором
и осью ОХ, а
-
косинус угла между вектором
и осью ОУ.
Примеры:
13.56.
Найдите
производную функции
,
по направлению
в точке
.
Решение:
;
.
.
13.57.
Найдите
производную функции
в точке
по направлению
,
где
.
Решение:
.
.
13.60.
Найдите
производную функции
в точке
по направлению луча, образующего с осью
угол
.
Решение:
.
14.10(а)
Найдите
точки, в которых
если
единственная
точка
.
4.5 Первый и второй дифференциал.
Формула
первого дифференциала:
Формула
второго дифференциала:
Примеры:
14.4(а)
Найдите
первый дифференциал функции
Решение:
14.9(а)
Найдите
вторые дифференциалы
Решение:
.
14.6.
Покажите,
что если
,
то
.
Решение:
Запишем
по-другому, что нам нужно доказать:
.
А теперь докажем равенство:
.
4.6 Касательная плоскость.
Уравнение
касательной плоскости к графику функции
имеет вид:
,
кроме того это уравнение можно записать
как:
.
Отсюда можно получить уравнение нормали
к поверхности:
.
P.S.
если у нас уравнение задано явно, то мы
считаем, что
Примеры:
14.15.
Напишите
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке
.
Решение:
-
уравнение касательной плоскости.
-
уравнение нормали к поверхности.
14.21.
Напишите
уравнение касательной плоскости и
нормали к поверхности
в
точке
.
Решение:
Для
начала найдем
как раньше:
;
;
-
уравнение касательной плоскости
-
уравнение нормали к поверхности.
4.7 Формулы Тейлора и Маклорена.
Формулы Тейлора и Маклорена для функций одной переменной:
Формула
Тейлора:
Формула
Маклорена:
Формула Тейлора для функций нескольких переменных:
Формула
Тейлора:
или также можно записать:
Глава V. Интегралы.
5.1 Свойства интегралов и таблица первообразных.
Свойства интегралов:
Стандартная
таблица первообразных:
Расширенная таблица первообразных:
Примерный алгоритм решения интегралов:
Смотрим: если можно решить по таблицам – решаем.
Если нельзя – пробуем метод частичной замены, если можно что-то взять за u – решаем.
Если нельзя – используем метод замены переменной.
P.S. Старайтесь мыслить следующим образом: от чего мне нужно взять производную, чтобы получить подынтегральное выражение?
Примеры:
11.2
=
11.3
=
11.5
=
5.2 Метод частичной замены переменной.
Алгоритм решения:
Мы должны разбить подынтегральное выражение на u и dv. Выбрав, что-то за u, все оставшееся (с dx) считаем за dv.
Приоритет обозначения u:
1
-
,
при условии, что они умножается на
выражение, состоящее из х в степени.
2
– х в степени (встречается чаще всего),
при условии, что умножается на
и степени положительные.
3 - - никогда не берутся за u.
Находим du и v по формулам:
и
Подставляем все известные данные в формулу:
При необходимости повторить.
Примеры:
11.35
.
Решение:
Определяем: u=x, dv=sin(3x)dx
du=1*dx; v=
=
11.42
Решение:
Определяем: u=
,
dv=
du=2xdx; v=
Повторяем:
.
11.47
.
Решение:
Определяем: u=
и
;
.
=
.