Глава IV. Производные и дифференциалы.
4.1 «Тривиальные» производные.
Таблица сложных производных
Примеры на нахождение производной:
8.3
Решение:
8.12
Решение:
8.21
.
Решение:
Проблема
этого примера в том, что мы не знаем
производной функции типа:
,
поэтому необходимо сделать следующие
преобразования:
.
P.s. это основное логарифмическое тождество.
=
.
4.2 Уравнения касательной и нормали к графику функций.
1) Производная в точке, заданная неявно.
Пример:
8.26
Найдите
значение производной
функции
,
заданной неявно уравнением
,
в точке М(0; 1).
Решение:
Для
решения данного примера необходимо
взять производную по х из выражений,
стоящих слева и справа от знака равенства,
а затем подставить значения
вместо
х и у. при этом нужно учитывать, что у –
сложная функция и производная от нее
так и останется
:
Уравнение касательной к графику функций в точке.
Уравнение
касательной имеет вид:
,
где
,
-
значение производной в точке,
,
- координаты точки касания.
Алгоритм нахождения уравнения касательной:
Найти , если не дано, подставив в уравнение графика функции, заданной явно.
Найти
,
а затем, подставив
и
,
найти
.Подставить все необходимые значения в формулу касательной.
Пример:
8.30
Напишите
уравнение касательной, проведенной в
точке (1;1) к графику функции
,
заданной неявно
.
Решение:
=1 (Из условия).
Ответ:
.
Уравнение нормали к графику функций.
Уравнение
нормали к графику функций имеет следующий
вид:
Поэтому алгоритм решения точно такой же как и для касательной.
Пример:
8.36
Напишите
уравнение нормали, проведенной в точке
M(2;1)
к графику функции
,
заданной неявно
.
Решение:
=1
Ответ:
4.3 Производная функции нескольких переменных.
Производная
по переменной берется как обычно, но с
одним отличием: все остальные переменные
считаются константами, т.е. если мы берем
производную по х, то
и т.д..
Примеры:
Найдите частные производные первого порядка от следующих функций:
13.4.
.
Решение:
13.16.
.
Решение:
;
;
.
13.26.
Проверьте,
что функция
удовлетворяет уравнению
.
Решение:
13.39.
Найдите
и
,
если
и
,
.
Решение:
Для
начала необходимо объяснить разницу
между
и
.
- производная
,
с учетом, что все остальные переменные
константы.
=
=
.
Итак:
=
;
=
13.44.
Найдите
производные
и
функции
,
где
и
:
,
,
.
Решение:
;
.
13.49.
Найдите
в указанной точке первые частные
производные функции
,
заданной неявно уравнением:
,
.
Решение:
Аналогично
случаю, когда у нас функция от одной
переменной, берем производную от обеих
частей уравнения сначала по одной
переменной, считая, что z
– сложная функция и ее производная так
и остается
,
а затем подставляем значения
и находим производную. Повторяем с
другими переменными.
Для
начала найдем
,
подставив в исходное уравнение
:
А
теперь найдем
:
А
теперь найдем
:
