
- •1. Промежутки возрастания и убывания дифференцируемой функции. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума.
- •2. Достаточные условия существования максимума или минимума функции.
- •3. Наибольшие и наименьшие значения непрерывной функции на отрезке.
- •4. Исследование функции на выпуклость. Точки перегиба.
- •5. Асимптоты графика функции. Отыскание вертикальной и наклонной асимптот.
- •6. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
- •7. Понятие о числовых рядах. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости.
- •8. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости.
- •9. Свойства сходящихся рядов.
- •10. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.
- •11. Понятие о функциональных рядах. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
- •12. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •1 3. Понятие о ряде Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных периодических функций.
- •14. Первообразная функции на промежутке. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •15. Интегрирование по частям, замена переменных. Таблица интегралов основных элементарных функций.
- •17. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- •18. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Замена переменных в определенном интеграле.
- •19. Несобственный интеграл с неограниченной областью интегрирования. Несобственный интеграл от функции, неограниченной на отрезке интегрирования. Понятие сходимости несобственных интегралов.
- •20. Понятие о дифференциальном уравнении и его решении. Порядок дифференциального уравнения. Понятие общего и частного решения.
- •21. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. Теорема существования и единственности решения.
- •22. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод разделения переменных.
- •23. Комплексные числа, алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Формула Эйлера.
- •24. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные). Структура общего решения.
- •26. Непрерывность функции двух независимых переменных.
- •27. Частные производные и вектор градиента функции двух независимых переменных. Производная по направлению. Понятие о линиях уровня.
- •28. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциал второго порядка функции нескольких переменных.
- •29. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
- •30. Максимумы и минимумы функции нескольких (двух) переменных. Необходимые условия экстремума.
- •31. Наибольшее и наименьшее значения функции двух независимых переменных на замкнутом ограниченном множестве.
- •32. Достаточные условия максимума или минимума функции нескольких независимых переменных.
- •33. Предмет теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности.
- •34. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности события.
- •35. Аксиоматическое определение вероятности.
- •36. Алгебра событий.
- •37. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.
- •38. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых и событий.
- •40. Формула Бейеса (формула переоценки вероятностей гипотез).
- •41. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли.
- •42. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •43. Дискретные и непрерывные случайные величины, их законы распределения.
- •44. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •46. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее свойства.
- •47. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
29. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Дифференциалы
высших порядков.
Пусть
в области
задана некоторая функция
,
имеющая непрерывные частные производные
первого порядка. Тогда она будет
дифференцируема в этой области, и ее
дифференциал имеет вид
,где
- произвольные приращения независимых
переменных
.
Видим,
что
также является функцией от
.
Если существуют непрерывные частные
производные второго порядка функции
для
,
то можно говорить о дифференциале от
первого дифференциала
,
который называется дифференциалом
второго порядка от
и обозначается символом
.
Частные
производные высших порядков.
Пусть частные производные
функции z
= f
(x,
y
), определенной в окрестности точки М,
существуют в каждой точке этой
окрестности. В этом случае частные
производные представляют собой функции
двух переменных х и у, определенные в
указанной окрестности точки М. Назовем
их частными производными первого
порядка. В свою очередь, частные
производные по переменным х и у от
функций
в точке М, если они существуют, называются
частными производными второго порядка
от функции f
(М) в этой точке и обозначаются следующими
символами
Частные
производные второго порядка вида
,
,
называются смешенными частными
производными.
30. Максимумы и минимумы функции нескольких (двух) переменных. Необходимые условия экстремума.
Условия
экстремума.
Определение.Пусть функция f(x)
определена в некоторой окрестности
,
δ>0, некоторой точки
своей области определения. Точка
называется точкой локального максимума,
если в некоторой такой окрестности E
выполняется неравенство
(
),
и точкой локального минимума, если
.
Понятия локальный максимум и локальный
минимум объединяются термином локальный
экстремум. Следующая теорема даёт
необходимое условие того, чтобы точка
была точкой локального экстремума
функции f(x).
Теорема. Если точка
-
это точка локального экстремума функции
f(x),
и существует производная в этой точке
,
то
.
Доказательство этой теоремы сразу же
следует из теоремы Ферма.
Утверждение
теоремы можно переформулировать так:
если функция f(x)
имеет локальный экстремум в точке
,
то либо: 1)
,
либо 2) производная
не существует. Точка
называется
критической точкой функции f(x),
если f(x)
непрерывна в этой точке и либо
,
либо
не существует. В первом случае точка
называется также стационарной точкой
функции f(x).
Итак, локальный экстремум функции f(x)
может наблюдаться лишь в одной из
критических точек этой функции.
31. Наибольшее и наименьшее значения функции двух независимых переменных на замкнутом ограниченном множестве.
Теорема. Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z(x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений. Можно предложить следующий план нахождения M и m:
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D.
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.