Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
bilety_pechat.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
24.09.2019
Размер:
383.39 Кб
Скачать

29. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Дифференциалы высших порядков. Пусть в области задана некоторая функция , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Тогда она будет дифференцируема в этой области, и ее дифференциал имеет вид ,где - произвольные приращения независимых переменных . Видим, что также является функцией от . Если существуют непрерывные частные производные второго порядка функции для , то можно говорить о дифференциале от первого дифференциала , который называется дифференциалом второго порядка от и обозначается символом .

Частные производные высших порядков. Пусть частные производные функции z = f (x, y ), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у, определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М) в этой точке и обозначаются следующими символами Частные производные второго порядка вида , , называются смешенными частными производными.

30. Максимумы и минимумы функции нескольких (двух) переменных. Необходимые условия экстремума.

Условия экстремума. Определение.Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности , δ>0, некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности E выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если . Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум. Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции f(x). Теорема. Если точка - это точка локального экстремума функции f(x), и существует производная в этой точке , то . Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма. Утверждение теоремы можно переформулировать так: если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке , то либо: 1) , либо 2) производная не существует. Точка называется критической точкой функции f(x), если f(x) непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае точка называется также стационарной точкой функции f(x). Итак, локальный экстремум функции f(x) может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

31. Наибольшее и наименьшее значения функции двух независимых переменных на замкнутом ограниченном множестве.

Теорема. Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z(x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений. Можно предложить следующий план нахождения M и m:

1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.

2. Находим стационарные точки внутри D.

3. Находим стационарные точки на каждой из границ.

4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]