11. Первообразная ф-ии. Св-ва ∫. Таблица

Опред-ие 1:Ф-ия F(x)-первообразная для ф-ии f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется рав-во F’(x)= f(x)

Опред-ие 2: Семейство всех п-ых для ф-ии f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом от ф-ии f(x) на это промежутке и обозначается

∫ f(x)dx=F(x)+c

Иначе неопределенный интеграл от ф-и это совокупность всех первообр. для этой функции.

Свойствa: 1.производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной ф-и, которая явл. критерием правильности вычисления неопр. интеграла. (∫f(x)dx)’=(F(x)+C)’=f(x)

2. Неопр. интеграл от алгебраической суммы двух или более ф-й равен алгебр. cумме неопр. интегралов от этих ф-й. ∫=∫₁+∫₂

3. Постоянный множитель можно вынести за знак неопр. интеграла. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

Таблица основных интегралов:

12. Замена переменной в неопред-ом интеграле.

Т-ма1: Пусть дано ∫f(x)dx=F(x)+c (1)

Предположим x=φ(t),тогда ∫f(φ(t))* φ’t(dt)= F(φ(t))+c (2)

Предполагается , что ф-ии f(x), φ(t) непрерывны.

Док-во: По данному F(x)-первообразная для f(x) → F’(x)=f(x). Требуется док-ть рав-во (2), что F(φ(t)) явл-ся первообразной для f(φ(t))*φ’(t). Воспользуемся теоремой о производной сложной ф-ии:

(F(φ(t)))’=F’(φ(t))* φ’(t)= f(φ(t))*φ’(t)

Замечание : Пусть требуется вычислить ∫(1). Если ф-ию F(φ(t)) найти легче, чем F(x), то в рав-ве (1) полагают x=φ(t) и находят ф-ию F(φ(t)). Затем осуществляется переход к старой переменной х и получается искомая ф-ия F(x).

Интегрирование по частям:

Теорема: Пусть ф-ия U(x),V(x) непрерывны вместе со своими производными U’(x),V’(x), тогда на этом промежутке имеет место рав-во:

∫UdV=UV-∫VdU –ф-ла интегрирования по частям.

Она применяется , если ∫VdU вычислить легче, чем ∫UdV

Замечание : Ф-ла (1) применяется для интегрирования выраж-ий след-его вида:

1. ∫Pn(x)sinxdx

2. ∫(Pn(x)cosxdx

3. ∫(Pn(x)a^xdx

4. ∫(Pn(x)ln^m(x)dx

5. ∫(Pn(x)arctgxdx

6. ∫(Pn(x)arcsinxdx

13. Интегрирование простых дробей

Прост. дробями наз. ф-и след вида:

1. A\(x-a), 2. A\(x-a)ⁿ, 3. Mx+N\(x²+px+q), 4. Mx+N\(x²+px+q)^m,

Где m,n- натуральные числа >1,.

a,p,q,A,M,N – любые действит. числа.

D=p²-4q<0

Дроби вида 1, 2 интегрируются непосредственно.

1.∫A/(x-a)dx=A∫d(x-a)/(x-a)=Aln|x-a|+c

2. ∫ A\(x-a)ⁿ=A∫(x-a)^-nd(x-a)=A(x-a)^-n+1/(-n+1)+C

3. Выделение полного квадрата:

∫4x+1\(x²+x+1)dx=∫(4x+1)dx/((x+1\2)²+3\4)=∫x+1/2=t, x=t-1/2, dx=(t-1/2)’dt, dx=dt]= =∫(4(t-1\2)+1)\(t²+3\4)dt=∫(4t-1)\(t²+3\4)dt=∫4t\(t²+3\4)dt-∫dt\t²+3\4)=2ln(t²+3\4)-1\(3\2)arctgt\(3\2)+C=2ln(x²+x+1)-2\(3)arctg((2x+1)\3)+C

Выражение, кот. содержат квадратный трех член Ax+B\ax²+bx+c; Ax+B\(ax²+bx+c) так же интегрируем выделением полного квадрата трехчлена.

14. Интегрирование рациональных дробей

Опред-ие 1: Рац-ая дробь – отношение двух многочленов P(x)|Q(x), где P и Qимеют действительные коэффициенты.

Опред-ие 2: Рац-ая дробь – правильная, если степень многочлена , стоящего в числительном ниже степени многочлена , стоящего в знаменатиле. В противном случае дробь наз-ся неправильной.

Любую неправильную рац-ую дробь можно представить путём деления суммы многочленов и правильной рациональной дроби.

Теорема о разложении прав. рац. дроби на прост. дроби.

Пусть P(x)\Q(x) – прав. рац. дробь причем знаменатель представлен в виде:

Q(x)=(x-a)ⁿ…(x²+px+q)^m.

Тогда прав. рац. дробь можно представить в виде суммы простых дробей след. образом:

Где a,p,q – действ. числа, p²-4q<0:

A₁, A₂,..,A_n; N₁, N₂, Mm, Nm- неизвестные коэффициенты