7.4. Пример решения задачи о назначениях.
Пусть в виде таблицы
дана матрица
несоответствия «претендентов»
,
,
,
,
имеющимся «должностям»
,
,
,
,
(
):
Таблица 1.
-
7
2
1
9
4
9
6
9
5
5
3
8
3
1
8
7
9
4
2
2
8
4
7
4
8
Если вначале дана
матрица соответствия
,
то элементы матрицы
определим по формулам
.
Определим начальные
значения потенциалов, положив
и
.
Другими словами, потенциал
положим равным наименьшему из тарифов
в
- том столбце. Нетрудно проверить, что
так определенные потенциалы удовлетворяют
условиям :
,
поскольку
.
Значения потенциалов
запишем в добавленный справа к таблице
столбец, а потенциалов
в добавленную снизу строку. Кроме того,
в клетки таблицы, удовлетворяющие
условию
запишем «потенциальные» единицы.
Таблица 2.
-
7
1 2
1 1
9
4
0
9
6
9
5
5
0
1 3
8
3
1 1
8
0
7
9
4
2
1 2
0
8
4
7
4
8
0
3
2
1
1
2
Очевидно, что в
силу определения
и
равенство
будет выполняться в тех клетках
- того столбца, в которых значение тарифа
является наименьшим в соответствующем
столбце (именно в этих клетках мы и
поставили единицы). Заметим, что если
бы оказалось ровно по одной единице в
каждом столбце и в каждой строке, то
есть всего 5 допустимых единиц, то
согласно п.7.3 мы получили бы оптимальное
решение задачи, положив
для соответствующих допустимых единиц
(а все остальные
полагая равными нулю). Выберем теперь
из имеющихся 6 потенциальных единиц
максимально возможное число единиц
так, чтобы в каждом столбце и в каждой
строке стояло не более одной (допустимой)
единицы. Разумеется, это можно сделать
методом полного перебора, но мы хотим
указать не метод «тыка», а способ, дающий
эффективное решение задачи выбора
допустимых единиц, основванный на
известном алгоритме Форда-Фалкерсона.
Для этого будем считать переменные
,
,
,
,
и
,
,
,
,
вершинами некоторой сети. Снабдим эту
сеть (фиктивным) входом
и (фиктивным) выходом
,
соединив вход дугами с вершинами
,
,
,
,
и вершины
,
,
,
,
с выходом
(см. рис. 1). Кроме того, каждой потенциальной
единице, стоящей в
-той строке и
-том
столбце таблицы 2, сопоставим дугу
с началом
и концом
.
В результате получим следующую сеть.
Рис.1. Сеть для таблицы 2.
Кроме того, в таблицу снизу добавлена строка для определяемой ниже невязки и одна вспомогательная строка, смысл которых прояснится в дальнейшем и
С помощью условия
(3) определим заполненные клетки таблицы.
В первом столбце (
)
равенство
будет иметь место
добавив столбец для переменных , строку для переменных и две специальных строки, назначение которых станет ясно
-
7
2
1
9
4
9
6
9
5
5
7
8
3
1
8
7
9
4
2
2
8
4
7
4
8
невязка
строка
-
α
α1
7
12
11
9
4
0
α2
9
6
9
5
5
0
α3
1 3
8
3
1
8
0
α4
7
9
4
2
12
0
α5
8
4
7
4
8
0
min βj
3
2
1
1
2
невязка
строка