6.6. Критерий Дарбина-Уотсона

Ранее мы сказали, что по данным временных рядов могут быть исследованы причинно-следственные связи переменных. Первые два метода исключения тенденции приводят к тому, что вместо исходных уровней ряда мы исследуем зависимость между остатками в рядах динамики, оговариваясь при этом, что остатки не должны содержать тенденции. В противном случае ее присутствие вызвало бы ложную корреляцию.

Однако при моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или цикличность (рис.6.1.2). В этом случае остатки не являются независимыми, каждое последующее значение остатка зависит от предыдущего. Это явление получило название автокорреляция остатков.

Назовем причины существования автокорреляции остатков:

1. в модель не включен фактор, оказывающий существенной воздействие на результат; его влияние будет отражаться в остатках, то есть они могут быть автокоррелированы;

2. модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых может быть существенным (если их тенденции совпадают или фазы цикличности совпадают);

3. автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели.

Существуют два способа определения автокорреляции в остатках. Первый заключается в визуальном анализе графика зависимостей остатков от времени (см. рис. 6.1.2). Второй способ предполагает использование критерия Дарбина-Уотсона. Величину критерия (d) можно определить по одной из формул

(6.1.4)

либо d 2(1 – r_e¹) (6.1.5.),

где r_e¹ – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция, то r_e¹=1 и d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то

r_e¹=-1 и d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r_e¹=0 и d = 2.

На практике используется следующий алгоритм проверки гипотезы об автокорреляции остатков:

1. выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках;

2. определяется фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона (d);

3. по специальным таблицам (приложение учебника по эконометрике) находят критические значения критерия d_L и d_u , где п –число наблюдений, k- независимых переменных в модели, - уровень значимости;

4. числовой промежуток всех возможных значений d разбивается на 5 отрезков

Есть положи-тельная автокорре-ляция остатков

Зона неопределен-ности

Автокорреля-ция остатков отсутствует

Зона неопределен-ности

Есть отрицательная автокорреля-ция остатков

0 d _L d _u 2 4- d _u 4 - d _L 4

5. если d - фактическое попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции в остатках.

В последнем случае исследовать причинно-следственные связи переменных по остаткам нельзя, получим ложную корреляцию.

Косвенный метод наименьших квадратов

Препятствие к применению метода наименьших квадратов, которое заключается в коррелированности эндогенных переменных со случайными членами легко преодолеть, если:

1. привести систему к виду, чтобы в правой части оставались только экзогенные переменные. Такая форма называется приведенной;

2. затем применить метод наименьших квадратов к каждому уравнению в приведенной форме и получить оценки ее параметров;

3. перейти от приведенной формы к структурной, проведя процедуру обратного преобразования параметров.

Эта методика получила название косвенного метода наименьших квадратов и позволяет получать состоятельные и несмещенные оценки параметров структурной форму системы одновременных уравнений.

Пример.

Рассмотрим самую простую структурную форму системы одновременных уравнений:

(7.1.10)

Пусть модель реализуется по следующим данным:

7.1.1 Исходные данные

№ п/п	Y1	Y2	X1	X2
1	2	10	150	1
2	3	12	200	2
3	5	15	150	4
4	4	16	140	3
5	6	25	300	5
6	3	16	190	2
7	5	20	250	5
8	8	30	450	9
9	3	11	170	2
В среднем	4,3	17,2	222,2	3,7

Найдем отклонения от средних значений по каждой переменной (табл. 7.1.2):

Перейдем от структурной к приведенной форме, для этого выразим из первого уравнения у₂:

(7.1.11)

7.1.2. Отклонения от средних уровней

№ п/п	y1	y2	x1	x2
1	-2,3	-7,2	-72,2	-2,7
2	-1,3	-5,2	-22,2	-1,7
3	0,7	-2,2	-72,2	0,3
4	-0,3	-1,2	-82,2	-0,7
5	1,7	7,8	77,8	1,3
6	-1,3	-1,2	-32,2	-1,7
7	0,7	2,8	27,8	1,3
8	3,7	12,8	227,8	5,3
9	-1,3	-6,2	-52,2	-1,7

Тогда система одновременных уравнений будет иметь вид:

(7.1.12)

Приравняем правые части и выразим у₁:

;

;

. (7.1.13)

Получившееся уравнение является первым уравнением системы в приведенной форме.

Аналогичным образом поступим для получения второго уравнения. Из второго уравнения структурной формы выразим y₁:

. (7.1.14)

Подставим правую часть тождества в первое структурное уравнение:

.

Выразим y₂:

(7.1.15)

Таким образом, мы получили систему приведенных уравнений:

(7.1.16)

Обозначим для удобства восприятия получившиеся нелинейные коэффициенты при независимых переменных как :

(7.1.17)

Получим систему приведенных уравнений:

(7.1.18)

Решим систему приведенных уравнений, используя данные табл. 7.1.2, методом наименьших квадратов:

(7.1.19)

Теперь нужно перейти к структурной форме, т.е.:

Сопоставив первое уравнение приведенной и структурных форм видим, что для перехода к структурному виду следует переменную х₂ представить как комбинацию переменных у₂ и х₁. Это можно сделать, выразив х₂ из второго уравнения приведенной формы:

. (7.1.20)

Подставим х₂ в первое уравнение системы приведенной формы:

(7.1.21)

Мы получили первое уравнение системы структурной формы.

Теперь выразим переменную х₁ из первого уравнения приведенной формы:

(7.1.22)

и подставим х₁ во втрое уравнение системы приведенной формы:

(7.1.23)

Получим, таким образом, второе уравнение системы структурной формы:

(7.1.24)

Мы получили систему одновременных, структурных уравнений:

(7.1.25)

Чтобы перейти от отклонений переменных от средних к их значениям (от значений табл. 7.1.2 к табл. 7.1.1), нужно определить свободные члены для каждого из уравнений. Рассчитываются они по формулам:

(7.1.26)

Подставим средние значения (табл. 7.1.1) и коэффициенты при переменных в структурной форме:

(7.1.27)

Тогда система структурных уравнений примет вид:

(7.1.28)

Полученные оценки являются состоятельными и несмещенными, в отличие от оценок метода наименьших квадратов, если применить его к каждому уравнению в отдельности, то получим уравнения множественной регрессии:

(7.1.29)

Как видно, различия значительны, особенно во втором уравнении, где имеется даже несовпадение знаков коэффициента при у₁.