22. Доказать теорему об изменении кинетической энергии механической системы.

Умножим каждое из диф. ур-ий движения скалярно на скорость точки и сложим все получившиеся уравнения ; , меняя порядок суммирования и дифференцирования получаем теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

(1)

Интегрируя уравнение (2) на некотором конечном перемещении системы получаем теорему об изменении Кинетической энергии в интегральной форме.

, пусть все внешние и внутренние силы системы – потенциальные. -потенциальная энергия внешних сил поля.

(4) ; ; E= – полная мех энергия. Получаем ЗС полной мех энергии. Если все внешние и внутренние силы потенциальны, полная мех энергия системы сохраняется.

23. Вычислить работу силы тяжести.

; h=|z2-z1|

24. Вычислить работу упругой силы.

;

25. Вычислить работу вращающего момента.

26. Доказать, что суммарная мощность всех внутренних сил геометрически неизменяемой механической системы равна нулю.

=

Как видно внутренние силы могут совершать работу только в том случае когда изменяется расстояние между точками, то есть происходит деформация. В геометрически неизменяемой мех системе А.Т.Т. сумма работ всех внутренних сил на любом перемещении системы равна «0».

27. Дать определение потенциального силового поля. Указать способ вычисления работы потенциальных сил.

Силовое поле – область, в каждой точке которой на помещенную в ней матер.точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени, т.е. должно быть известна . Нестационарное силовое поле, если явно зависит от t, стационарное силовое поле, если сила не зависит от времени. Рассматриваются стационарные силовые поля, когда сила зависит только от положения точки: и F_x=F_x(x,y,z) и т.д. Свойства стационар. силовых полей:

1. Работа сил стац. поля зависит в общем случае от начального М₁ и конечного М₂ положений и траектории, но не зависит от закона движения матер. точки.

2. Имеет место равенство А_2,1= – А_1,2. Для нестационарных полей эти свойства на выполняются.

Примеры: поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости.

Стационарные силовые поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения матер. точки и определяется только ее начальным и конечным положениями назыв. потенциальными (консервативными). , где I и II – любые пути, А_1,2 – общее значение работы. В потенциальных силовых полях существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так:

. Функция U=U(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n) назыв. силовой функцией.

28. Получить закон сохранения полной механической энергии.

Т + П = const. Если система движется под действием потенциальных сил, то сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняет постоянное значение. (Т + П — интеграл энергии). Потенциальные силы – силы, работа которых не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка (пр.: сила тяжести, сила упругости) Непотенциальные – напр.: силы трения.

Закон сохранения механической энергии может быть выведен из второго закона Ньютона, если учесть, что в консервативной системе все силы, действующие на тело, потенциальны и, следовательно, могут быть представлены в виде

,

где   — потенциальная энергия материальной точки (  — радиус-вектор точки пространства). В этом случае второй закон Ньютона для одной частицы имеет вид

,

где m — масса частицы,   — вектор её скорости. Скалярно домножив обе части данного уравнения на скорость частицы и приняв во внимание, что  , можно получить

Путём элементарных операций это выражение может быть приведено к следующему виду

Отсюда непосредственно следует, что выражение, стоящее под знаком дифференцирования по времени, сохраняется. Это выражение и называется механической энергией материальной точки. Первый член в сумме отвечает кинетической энергии, второй — потенциальной.

Этот вывод может быть легко обобщён на систему материальных точек.