12. Транспортная задача. Общая постановка транспортной задачи. Свойства множества решений. Методы нахождения первой вершины.

ТЗ – важнейшая частная ЗЛП, имеющая обширные практические приложения не только к проблемам транспорта. Она выделяется в ЛП определённостью эк. Хар-ки, особенностями мат. Модели, наличием специфических методов решения.

Простейшая формулировка: в m пунктах отправления А₁, А₂, …, Аm(поставщики) находится соответственно а₁, а₂, …, аm единиц однородного груза (ресурсы), кот. Должен быть доставлен n потребителям В₁, В₂, …, Вn в кол-вах b₁, b₂, …, b_n единиц соответственно (потребности). Известны транспортные издержки cij перевозок единицы груза из i-го пункта отправления в j-ый пункт потребления (i=1,m, j=1,n). Требуется спланировать перевозкитак, чтобы: весь груз из пунктов отправления был вывезен; потребности каждого пункта были полностью удовлетворены; суммарные издержки на перевозки были минимальными.

Мат. Формулировка:

Сумм. Затраты: z=∑∑c_ijx_ij →min

Ограничения по запасам: ∑x_ij=a_i, i=1,m

Ограничения по потребностям: ∑x_ij=b_j, j=1,n

Условия неотрицательности: x_ij≥0, i=1,m, j=1,n.

Сво-ва МР:

1. Ранг матрицы спец. Огр. ТЗ равен m+n-1, сама матрица спец. Огр. Имеет размеры (m+n)*(m+n)

2. ТЗ имеет опт. Реш. т.к. ТЗ имеет доп. Реш. , в частности такое: xij=(ai*bj)/(∑ai), i=1,m, j=1,n), => ТЗ имеет доп баз решение(следует из сво-в ЗЛП)

3. ДМР ограничено, т.к. переменные ограничены : xij(xij≤min{ai, bj)

4. ДМР замкнуто

Методы нах. Первой вершины:

Метод северо-западного угла. Выполнение начинается с верхней левой ячейки (северо-западного угла) транспортной таблицы, т.е. с переменной хп.

Шаг 1. Переменной хп присваивается максимальное значение, допускае- допускаемое ограничениями на спрос и предложение.

Шаг 2. Вычеркивается строка (или столбец) с полностью реализованным предложением (с удовлетворенным спросом). Это означает, что в вычеркнутой строке (столбце) мы не будем присваивать значения остальным неременным (кроме переменной, определенной на пер- первом этапе). Если одновременно удовлетворяются спрос и предло- предложение, вычеркивается только строка или только столбец.

Шаг 3. Если не вычеркнута только одна строка или только один столбец, процесс останавливается. В противном случае переходим к ячейке справа, если вычеркнут столбец, или к нижележащей ячейке, если вычеркнута строка. Затем возвращаемся к первому этапу.

Метод наименьшей стоимости.Данный метод находит лучшее начальное решение, чем метод северо-западного угла, поскольку выбирает переменные, которым соответствуют наименьшие стоимости. Сначала по всей транспортной таблице ведется поиск ячейки с наименьшей стоимостью. Затем переменной в этой ячейке присваивается наибольшее значение, допускаемое ограничениями на спрос и предложение. (Если таких переменных несколько, выбор произволен.) Далее вычеркивается соответствующий столбец или строка, и соответствующим образом корректируются значения спроса и предложений. Если одновременно выполняются ограничения и по спросу, и по предложению, вычеркивается или строка, или столбец (точно так же, как в методе северо-западного угла). Затем просматриваются невычеркнутые ячейки, и выбирается новая ячейка с минимальной стоимостью. Описанный процесс продолжается до тех пор, пока не останется лишь одна невычеркнутая строка или столбец.

Метод Фогеля. Данный метод является вариацией метода наименьшей стоимости и в общем случае находит лучшее начальное решение. Алгоритм этого метода состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Для_каждой строки (столбца), которой соответствует строго положительное предложение (спрос), вычисляется штраф путем вычитания наименьшей стоимости из следующей по величине стоимости в данной строке (столбце).

Шаг 2. Выделяется строка или столбец с наибольшим штрафом. Если таковых несколько, выбор произволен. Из выделенной строки или столбца выбирается переменная, которой соответствует минимальная стоимость, и ей присваивается наибольшее значение, позволяемое ограничениями. Затем в соответствии с присвоенным значением переменной корректируются величины оставшегося неудовлетворенным спроса и нереализованного предложения. Строка или столбец, соответствующие выполненному ограничению, вычеркиваются из таблицы. Если одновременно выполняются ограничения и по спросу, и по предложению, вычеркивается только строка или только столбец, причем оставшейся строке (столбцу) приписывается нулевое предложение (спрос).

ШагЗ.

а) Если не вычеркнута только одна строка или только один столбец с нулевым спросом или предложением, вычисления заканчиваются.

б) Если не вычеркнута только одна строка (столбец) с положительным предложением (спросом), в этой строке (столбце) методом наименьшей стоимости находятся базисные переменные, и вычисления заканчиваются.

в) Если всем невычеркнутым строкам и столбцам соответствуют нулевые объемы предложения и спроса, методом наименьшей стоимости находятся нулевые базисные переменные, и вычисления заканчиваются.

г) Во всех остальных случаях необходимо перейти к п. 1.

13. Задача, двойственная к транспортной. Метод потенциалов нахождения оптимального решения транспортной задачи.

Построим двойственную(сопряженную) задачу к ТЗ. Символами U1, U2, U3 обозначим двойственные(сопряженные) переменные, соответствующие балансам по строкам (i=1, …, m=3)б символами V1,V2, V3 – двойственные (сопряженные) переменные, соответствующие балансам по столбцам (j=1, …, n=3). Тогда ЗЛП двойственная к ТЗ имеет вид:

U1+V1≤1, U1+V2≤2, U1+V3≤1, U2+V1≤2, U2+V2≤1, U2+V3≤1, U3+V1≤3, U3+V2≤2, U3+V2≤2

11U1+23U2+16U3+10V1+15V2+25V3=V(max)

Переменные Ui и Vj задачи, двойственной к ЗЛП в канон. Форме не имеют ограничений на знак. Исходная ЗЛП имеет опт решение, поэтому, по первой теореме двойственности, двойственная задача также имеет оптимальное решение и Zmin=Vmax. Для оптимальности доп решений прямой и двойственной задач НиД выполнение след условий(2я теор двойственности): x⁰_ij>0 => U⁰_i+V⁰_j=c_ij; x⁰_ij=0<= U⁰_i+V⁰_j<c_ij.(условия дополняющей нежесткости, или условия равновесия). Эти условия означают, что для заполненной (базисной) клетки сумма U⁰_i+V⁰_j равна cij, что даёт нам возможность определить величины U⁰_i и V⁰_j. Двойственные(сопряженные) переменные U⁰_i и V⁰_j имеют стоимостную природу, поэтому сумму U⁰_i+V⁰_j можно рассматривать как некоторую фиктивную(потенциально возможную) стоимость перевозки из i-го пункта отправления в j-ы пункт назначения. Для заполненных клеток эта фиктивная стоимость равна фактической cij, для свободных клеток может отличаться от cij. Поэтому в случае неоптимального решения в состав базисных клеток включается та перевозка, которая соответствует min{c_ij-(U_i+V_j)/c_ij-(u_i+V_j)<0}, что свидетельствует о том, что по фактической стоимости везти дешевле, чем по фиктивной. Переменные Ui и Vj – наз потенциальными, а сам метод – методом потенциалов.