2) , То ряд сходится

Рассмотрим при n

Следовательно, убывает.

Значит ряд сходится по признаку Лейбница.

Ответ: сходится.

Задача 8.

Вычислить сумму ряда с точностью

Обозначим n-ный член ряда, как

Чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью, следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом n монотонно убывают. Тогда нам требуется найти сумму ряда до N-го члена таково, что для любых n выполняется неравенство Найдем N:

Найдем сумму ряда до 6-го члена:

Ответ:

Задача 9.

Найти область сходимость ряда:

Обозначим , а искомую область сходимости ряда –X

Пусть тогда получим, что при n , следовательно, ряд расходится на данном множестве . (Необходимым условием сходимости ряда является стремление к нулю при стремлении n к бесконечности.

При , тогда сделаем замену переменных:

x= , тогда Подставим t вместо x в ряд:

Получаем, что для любого фиксированного x=

и поэтому ряд сходится.

Так как мы провели все возможные x на принадлежность области сходимости, то, в итоге, X=

Ответ: область сходимости

Задача 10.

Найти область сходимости ряда:

Приведем этот ряд к степенному виду:

, где не зависит от x и является постоянной величиной.

Положим , , тогда исходный ряд можно переписать в виде:

Используем формулу для нахождения радиуса сходимости, основанную на применении признака Коши:

R=

Таким образом, интервал сходимости ряда будет выглядеть следующим образом:

-1 +3

Ответ: Область сходимости ряда X=

Задача 11.

Найти область сходимости ряда:

Найдем этот ряд к степенному, т.е. к виду: , где не зависит от x и является постоянной величиной.

Положим тогда исходный ряд можно переписать в виде:

Теперь нам требуется найти:

Воспользуемся следующим равенством:

где a и b постоянные числа, a

Тогда.

Таким образом, по теореме Коши-Адамара, область сходимости X=

Решим неравенство, чтобы в явном виде записать область сходимости:

Решим уравнение

D=36-13 =-16

Т.к. дискриминант меньше нуля, то:

Ответ: область сходимости X=

Задача 12.

Найти область сходимости ряда:

Проведем тождественные преобразования ряда:

Теперь преобразуем ряд в эквивалентный:

Для ряда

Подставим преобразованные ряды в исходный ряд:

Обозначим А(x)=

Рассмотрим производную

(Сумма убывающей геометрической прогрессии.)

Ряд будет сходиться при

А(x)=

Чтобы найти константу С, найдем значение ряда в некоторой фиксированной точке x, возьмем x=0, тогда А(x)=0=С,

Таким образом, сумма ряда A(x)= есть –x-ln(1-x) при , и не существует при всех остальных x.

Получаем:

Ответ:

Задача 13.

Найдите сумму ряда:

Разложим этот ряд на сумму двух более простых рядов:

Найдем А(x)= Заметим, что А(x) есть производная от функции B(x)= , умноженная на x:

(x)=

A(x)=x

Сумма ряда B(x) есть сумма убывающей геометрической прогрессии и поэтому равна B(x)= , при условии, что Тогда производная от B(x) такова:

(x)=

Тогда A(x)=x =x при и не существует при

Ответ:

Задача 14.

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням X:

Чтобы решить эту задачу, следует воспользоваться табличными разложениями и степенные ряды. Приведем функцию к виду, удобному для разложения:

Воспользуемся табличным разложение для

Ряд полученный нами, еще не является рядом Тейлора по степеням x. Следует воспользоваться табличными разложениями еще раз, Для это преобразуем функцию следующим образом:

Воспользуемся табличным разложением для

Положим m=k+n. Т.к. k, n то 0 0 Из определения k следует, что Теперь найдем все возможные комбинации k и чтобы m=k+n, где m- произвольное фиксированное число, m Т.к. , то т.е.

Найдем коэффициент перед n раскладывается на сумму n и k несколькими способами, то где суммирование ведется по всем допустимым парам(n,k). Выразим индексы n и k через m: n=m-k

Итого:

Тогда:

f(x)=

Ответ: