Часть 3. Ряды.

Задача 1. Найти сумму ряда:

Произведем эквивалентные преобразования ряда:

Так как , то получаем, что исходный ряд мы можем переписать в следующем виде:

= = .

Рассмотрим ряд .

Произведем замену , тогда суммирование будет производиться от k=n-8= =9-8=1, a .

Подставим полученные значения в ряд

Произведем аналогичные преобразования и с рядом . Тогда для него замена :

начальное k=n-6= =9-6=3, a = .

Подставим данные в .Итак, мы получили, что исходный ряд равен разности двух рядов:

= =

Ответ: =

Задача 2. Исследовать ряд на сходимость:

Обозначим

Тогда для всех n верно следующее утверждение: , так как

Докажем сходимость ряда . Тогда из его сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда он будет ограничен сходящихся рядом сверху и нулем снизу(все члены ряда неотрицательны).

Обозначим . По признаку сравнения (говорящему, что ряд вида сходится только при условии, что а строго больше 1, т.е. а и расходится в противном случае, при а , ряд сходится, так как выполняется условие сходимости:1.5 .

Поэтому и исходный тоже сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задача 3. Исследовать ряд на сходимость:

Обозначим

При n ,поэтому сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости следующего ряда:

Докажем сходимость ряда Тогда из его сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу ( все члены ряда неотрицательны).

Обозначим По признаку сравнения (говорящему, что ряд вида сходится только при условии, что а строго больше 1, т.е. а и расходится в противном случае, при а ряд сходится, так как выполняется условие сходимости: 1,5

Поэтому и исходный ряд тоже сходится.

Ответ:

ряд сходится.

Задача 4. Исследовать ряд на сходимость:

Обозначим , т.к. растет быстрее чем (n+1) при n .

Докажем сходимость ряда . Тогда из его сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, т.к. тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу ( все члены ряда неотрицательны).

есть сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии, которая находится по формуле

Тогда исходный ряд тоже сходится.

Ответ: сходится.

Задача 5. Исследовать ряд на сходимость:

Воспользуемся признаком Коши:

Если

Если расходится.

Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сходящимся.

Ответ: сходится.

Задача 6. Исследовать ряд на сходимость:

Воспользуемся предельным признаком сходимости.

Если два ряда и удовлетворяют условию: конечное число, не равное 0, то ряды и

Сходится или расходятся одновременно.

Рассмотрим следующий ряд:

lim это конечное число число, не равное 0

Значит, ряды и сходится или расходится одновременно.

Для исследования сходимости второго ряда воспользуемся интегральным признаком сходимости рядов.

Если некоторая функция f(x) удовлетворяет условию f(n)= , то если сходится, то и ряд сходится, а если расходится, то и ряд расходится.

Рассмотрим следующую функцию:

f(x)=

Если сходится, то и ряд сходится, если интеграл расходится, то и ряд расходится.

Интеграл сходится, значит и ряд сходится. Из сходимости этого ряда

следует сходимости исходного.

Ответ: сходится.

Задача 7.

Исследовать ряд на сходимость:

Воспользуемся признаками Лейбница:

если ряд удовлетворяет условиям:

- монотонно убывающая, начиная с некоторого n=N