Сложение и вычитание в пределах 100

В результате изучения темы «Сложение и вычитание» уча­щиеся должны научиться осознанно выполнять сложение и вы­читание любых чисел в пределах 100,твердо усвоить табличные случаи сложения и вычитания с переходом за десяток, а так­же ряд теоретических вопросов.

Анализ приемов сложения и вычитания чисел в пределах 100 показывает, что для их осознанного выполнения учащиеся дол­жны хорошо знать нумерацию чисел в пределах, 100, твердо знать таблицу сложения и соответствующие случаи вычитания в пределах 10, усвоить следующие свойства дей­ствий сложения и вычитания: прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа, прибавление суммы к сумме и вычитание суммы из суммы(2 кл.).

Рассмотрим подробнее методику изучения свойств и вычи­слительных приемов.

Сложение и вычитание двузначных разряд­ных чисел сводится к сложению и вычитанию однозначных чисел, которые выражают число десятков. Например, чтобы к 50 прибавить 30, достаточно к 5 десяткам прибавить 3 десятка, получится 8 десятков, или 80, а чтобы из 50 вычесть 30, доста­точно из 5 десятков вычесть 3 десятка, получится 2 десятка, или 20. Объяснение решения двух-трех примеров сопровождается иллюстрацией и такой записью:

70 + 20 60-40

7 дес. + 2 дес. ==9 дес. 6 дес. — 4 дес. = 2 дес.

70 + 20=90 60-40 = 20

В дальнейшем, на последующих двух-трех уроках, ученики проговаривают объяснение вслух, а затем про себя. В резуль­тате упражнений у учащихся постепенно вырабатывается навык.

Введению свойства прибавления числа к сумме должна предшествовать специальная _подготовительная работа, в результате которой учащиеся знакомятся с мате­матическими выражениями «сумма чисел...» и «разность чи­сел...», учатся читать и записывать выражения со скобками, за­менять двузначные неразрядные числа суммой их разрядных слагаемых. Эти вопросы рассматриваются при изучении сложе­ния и вычитания чисел в пределах 10 и нумерации чисел в пре­делах 100.

Изучение каждого свойства строится примерно по одному плану: сначала, используя наглядные пособия, надо раскрыть суть самого свойства, затем научить детей применять его при выполнении различных упражнений учебного характе­ра, и, наконец, научить, пользуясь знанием свойства, находить рациональные приемы вычислений с учетом особенностей каж­дого конкретного случая.

Рассмотрим, как можно провести ознакомление детей со свойством прибавления числа к сумме.

Раскрывая суть свойства, надо показать детям, что число к сумме можно прибавлять различными способами: можно вычис­лить сумму и к полученному результату прибавить число, можно прибавить число к первому слагаемому и к полученному резуль­тату прибавить второе слагаемое, а можно прибавить число ко второму слагаемому и полученный результат сложить с первым слагаемым.

Методика работы над каждым вычислитель­ным приемом строится примерно по одному плану: сначала ведется подготовка к ознакомлению с приемом, затем вводится прием и далее выполняются упражнения, направленные на фор­мирование умения применять прием в разных конкретных усло­виях и на формирование вычислительного навыка.

Рассмотрим, как можно провести работу над приемами для случаев: 46 + 20 и 46 + 2, которые вводятся после усвое­ния учащимися свойства прибавления числа к сумме.

В качестве подготовки предлагается решение наиболее удобным способом приме­ров вида: (50 + 3)+40 и (30 + 6)4-2. При решении та­ких примеров учащиеся долж­ны уяснить, во-первых, что удобнее десятки прибавлять к десяткам, а единицы к едини­цам, и, во-вторых, что в первом случае прибавляли 40 к числу 53, а во втором — прибавили 2 к 36.

При ознакомлении с приемом надо, выполняя соответствующие действия, опираться на наглядность, сопровождая их, соответствующими записями и словесными пояснениями.

Па доске запись: 46_+_20._ Дети читают пример и иллюстри­руют числа с помощью полосок с кружками или с помощью палочек— все у себя на партах, а один ученик на доске

Суммой каких разрядных слагаемых заменим число 46? ( 40 и 6.) Покажите, как изображены эти слагаемые. (Показывают полоски.) Заменим число -46 суммой разрядных слагаемых.

Запись , па доске: 46+20=(40+6)+20

Прочитайте пример, который получился. (К сумме чисел 40 и 6 прибавить. 20.) Как удобнее вычислить результат? (Прибавить число 20 к 40, к первому слагаемому, и к полученному результату прибавить 6, второе слагаемое.) Выполним это на полосках. (К 4 полоскам придвигают 2 такие же полоски и еще 6 кружкой.) Вычислите результат. (К 40 прибавить 20, полу­чится 60; к 6О прибавить 6, получиться 66)

Запись:46+20=(40+6)+20=(40+20)+6=66

Аналогично рассматривается случай: 46+2.Выясняется, чем похожи способы решения(в обоих случаях заменяли первое число суммой разрядных слагаемых и к сумме прибавляли число) и чем отличаются (в первом примере прибавляли десятки, их удобнее прибавлять к десяткам, а во втором примере прибавляли единицы, их удобнее прибавлять к единицам).

Чтобы предупредить неправильные обобщения, надо сказать, что здесь заменяли суммой первое число (46), а в других случаях будет удобнее заменять суммой второе число. Затем можно рассмотреть решение с объяснением аналогич­ных примеров, опираясь на иллюстрации, после чего решить ряд примеров с развернутой записью и подробным объяснением сначала под руководством учителя, а потом самостоятельно.

Так, уже на втором уроке учитель может сказать, что легче решать такие примеры, если будем вести рассуждение в опре­деленном порядке: сначала заменим число суммой, потом прочитаем полученный пример, затем решим его удо6ным способом.

Вот как будет выглядеть рассуждение ученика при решении примера 23+4: «Заменю число 23 суммой разрядных слагаемых 20 и 3; получился пример: к сумме чисел 20 и 3 прибавить 4; решу его удобным способом; здесь удобнее число 4 прибавить к 3, ко второму слагаемому, получу 7, прибавлю полученный результат к 20, к первому слагаемому, получится 27».

Одновременно выполняется запись:

,23+4= (20+3) +4 = 20+ (3 + 4) =27.

Такое рассуждение сначала выполняется под руководством учителя; учитель сообщает план объяснения и записывает его кратко на доске:

Заменю . . .

Получился пример . . .

Удобнее . . .

Постепенно дети овладевают указанной последовательностью операций: выполняют и называют их самостоятельно. Это обес­печивает в дальнейшем самостоятельное нахождение учащими­ся новых вычислительных приемов.

Подробное объяснение решения, которое дают учащиеся, надо постепенно сокращать.

Как только будет усвоен вычислительный прием, необходимо проводить специальную работу по формированию вычис­лительных навыков. Навык вырабатывается в результа­те тренировки, поэтому на каждом уроке должны включаться примеры как для устной, так и для письменной работы. При этом новые случаи должны включаться в перемежении с ранее изученными.

Одновременно с работой над формированием вычислитель­ных навыков для рассмотренных случаев изучается свойство вычитания числа из суммы по такой же методике, как и свойство прибавления числа к сумме. Как только учащиеся усвоят его, вводятся сначала одновременно приемы для случа­ев: 57 — 30 и 57 — 3, а несколько позднее — прием для случая 60-3.

В качестве подготовки к раскрытию первых двух приемов предлагается решить наиболее удобным способом примеры вида: (60 + 8)—50 и (60 + 8)—5. Выполняя такие задания, учащиеся замечают, что здесь удобнее единицы вычитать из единиц, а десятки из десятков.

Новые приемы для случаев 57 — 30 и 57 — 3 раскры­ваются примерно так же, как аналогичные приемы сложения. При этом учащиеся должны под руководством учителя, но с большей долей самостоятельности дать пояснение в соответствии с ранее данным им планом.

В дальнейшем включаются упражнения для выработки вы­числительных навыков. Одновременно с этим изучаютяс свойства прибавления суммы к числу. На основе полученных знаний учащие­ся должны прежде всего овладеть приемом сложения однознач­ных чисел с переходом через десяток, т. е. табличными случаями сложения с переходом через десяток (9+3),

Изучению табличных случаев сложения надо уделить особое внимание, так как здесь учащиеся должны не только усвоить прием, но и запомнить табличные результаты.

В целях подготовки к ознакомлению_с новым случаем сло­жения надо ознакомить детей с приемом дополнения_ однознач­ных чисел до 10. Учитель поясняет, что дополнить число, на­пример 6, до 10 — значит подобрать другое число, которое надо прибавить к 6, чтобы получить 10. Затем предлагает упражне­ния на дополнение чисел _до 10.

Кроме ознакомления с приемом дополнения, предлагается решение наиболее удобным способом примеров вида: 5+ (5 + 4), 8+ (6+2) и т. п. Учащиеся объясняют, что здесь удобнее приба­вить сначала то слагаемое, которое дополняет первое число до 10, потому что к числу 10 легко прибавить другое слагаемое.

При ознакомлении с приемом можно использовать специаль­ное наборное полотно с двумя десятками карманов, расположен­ных в два ряда, и двумя десятками двуцветных кружков, кото­рые вставляются в карманы .

Иллюстрируя, например, прием для случая 9 + 3, в один, ряд вставляем 9 кружков одного цвета, затем выясняем, сколько кружков еще можно вставить в этот ряд, т. е. сколько надо прибавить к 9, чтобы дополнить до 10 (1) и сколько осталось прибавить (2). Один кружок другого цвета вставляем в первый ряд, а два таких же кружка в другой ряд. Учитель поясняет, что здесь число 3 заменили суммой удобных слагаемых 1 и 2. Дети объясняют, почему эти слагаемые являются удобными (одно из них дополняет первое число до 10, а к 10 легко при­бавлять).

Одновременно выполняется запись:

9 + 3 = 9+(1 + 2)-(9+1)+2= 12.

Аналогично рассматриваются на этом же уроке другие слу­чаи: 8 + 6, 7 + 5 и т. п. Решая примеры, учащиеся самостоятель­но выполняют развернутую запись и дают соответствующие по­яснения, например:

7+5. Заменю число 5 суммой удобных слагаемых 3 и 2; получился пример: к числу 7.прибавить сумму чисел 3 и 2; удоб­нее прибавить к 7 число 3, первое слагаемое, и к полученному результату, к 10, прибавить 2, второе слагаемое, получится 12.

Запоминание табличных результатов должно идти постепен­но. Сначала заучиваются случаи равных слагаемых: 6 + 6, 7 + 7, 8 + 8, 9 + 9. Здесь полезно показать, как, пользуясь_результатами этих случаев, найти результаты в примерах вида: 6+5, 6+7,,

7 + 8 и т. д. (прибавили на единицу больше или меньше и получится на единицу больше или меньше).

В заключение составляется таблица всех случаев сложения с переходом через десяток:

Пусть учащиеся проследят, как можно получить в каждом столбике следующий результат из данного, а сравнив резуль­таты по строчкам, установят, что они одинаковы (9 + 2=11,

8+ 3=11 и т. д.). Надо обратить внимание детей на то, что каждая таблица заканчивается случаем сложения равных сла­гаемых, и выяснить, почему не надо продолжать таблицу.

Запоминанию табличных результатов помогают разные фор­мы заданий, например: записать все примеры на .сложение чисел с ответом 11 (12, 13, ..., 18); записать все однозначные числа и увеличить каждое на 9 (на 8, на 7 и т. д.) и др. Полезно пред­лагать тренировочные упражнения в форме игр.

Для подготовки учащихся к приему вычитания, основанному ка знании таблицы сложения, надо включать специальные уп­ражнения, направленные на усвоение состава чисел второго де­сятка. Так, пользуясь составленной таблицей, учащиеся назы­вают, суммой каких двух однозначных чисел является, напри­мер, число 11 (12, 13, ..., 18), и записывают 11=9 + 2, 11 = 8+3 и т. д.

Тысяча

В концентре «Тысяча» изучаются сначала устные, а затем письменные приемы сложения и вычитания.

Устные приемы сложения и вычитания для случаев 260+120, 570±280 и.др.)_, так же как и в пределах 100 опираются на свойства прибавления числа к сумме, суммы к числу, суммы к сумме, а также на соответствующие правила вычитания. Эти теоретические знания .усвоены детьм.и,при изучении действий в пределах 100, а здесь они закрепляются в процессе применения на новом числовом материале.. Поэтому в методике изучения устных приемов сложения и вычитания в пределах 1000 много сходного с методикой работы над аналогичной темой в «Сотне». Так же, как и там, знание свойств действий дает возможность детям самим «открыть» вычислительные приемы, основанные на этих свойствах; сходные приемы вычислений изучаются одно­временно в сопоставлении друг с другом, что помогает лучшему их усвоению; для выработки вычислительных навыков исполь­зуются разнообразные упражнения, которые вместе с тем спо­собствуют закреплению теоретических знаний. При изучении сложения и вычитания в пределах 1000 широко опираются на знания и умения детей, сформированные при изучении темы «Сотня», часто используют приемы сравнения и аналогии.

Устные приемы сложения и вычитания в пределах 1000 изу­чаются одновременно и рассматриваются в следующем порядке. На подготовительном этапе рассматриваются простейшие слу­чаи, непосредственно связанные с применением знаний по нумерации вида: 820 + 87,948-40,948-8: б) 789 + 1, 870-1, 699+7- в) 400-200, 800-500.

В качестве подготовительных упражнений к сложению и вычитанию с переходом через разрядную единицу включают упр – я на дополнение данных чисел до ближайшего разрядного, н-р: дополнить до 100 числа 90, 70, 40, 10; допол­ним, до 300 числа 270, 260, 220 и т. п.

Аналогичные способы учащиеся предлагают и при выполне­нии вычитания.

Раскрывая любой из приемов сложения и вычитания, реко­мендуется решать примеры с подробной записью только при первичном знакомстве, затем довольно скоро следует перехо­дить к кратким пояснениям и краткой записи решения и, нако­нец, к быстрым устным вычислениям без записи решения.

Для выработки навыков вычислений используют разнообраз­ные письменные и устные упражнения: решение примеров в од­но и более действий, нахождение числовых значений выражений при данных значениях букв, решение уравнений, сравнение вы­ражений и запись числовых равенств и неравенств и др.

Применение знакомых детям свойств к новой области чисел позволяет значительно усилить самостоятельность работы уча­щихся при изучении нового материала. Это помогает также сформировать в короткое время осознанные вычислительные навыки и приступить к расширению знаний о свойствах дей­ствий. Учащиеся самостоятельно могут установить, как можно прибавлять число к сумме трех слагаемых и вычитать число из суммы трех слагаемых; как прибавлять сумму трех сла­гаемых к числу и вычитать сумму трех слагаемых из числа; как сложить сумму с суммой и вычесть сумму из суммы н е -скольких слагаемых. Работа над этими правилами подготав­ливает детей к изучению следующей темы.

Письменные приемы сложения и вычитания в пределах 1000 раскрываются вслед за устными приемами, Усвоение письмен­ных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел является условием успешного применения их к числам любой величины. Сначала изучают письменные приемы сложения, а затем вычи­тания.

При сложении столбиком используется правило сложения суммы с суммой. Это правило повторяют перед тем, как озна­комить детей с письменным приемом сложения. Для этого ре­шают примеры вида: (8 + 7)+ (2 + 3) или (20 + 4) и (1-0+6).

Учащиеся вспоминают, как можно по-разному вычислить результат. Затем правило применяется к сложению сумм нескольких слагаемых с числами в пределах 1000.

Решив несколько таких примеров, дети замечают, что удоб­нее складывать сотни с сотнями, десятки с десятками, единицы с единицами. При этом полезно установить, какие числа скла­дывали (345 и 224, 345 и 204, 345 и 24).

Такой подготовительной работы вполне достаточно, чтобы ввести общеизвестную запись письменного приема сложения столбиком. Учащиеся понимают целесообразность такой запи­си— сложение при этом выполняется быстро, так как промежу­точные результаты записываются по мере их получения каж­дый на своем месте.

^Письменное сложение изучается в таком порядке: 1) случаи, где сумма единиц и сумма десятков меньше 10; 2) случаи, где сумма единиц или сумма десятков (либо и та, и другая) рав­ны 10; 3) случаи, где сумма единиц или сумма десятков (либо и та, и другая) больше 10.

Прежде всего решаются примеры на сложение без перехода через десяток: 232 + 347, 235 + 43. Учащиеся решают их снача­ла устно с подробной записью в строчку приема вычисления, затем учитель показывает запись этих примеров в столбик, по­ясняя: числа записывают так, чтобы единицы второго числа были под единицами первого, десятки под десятками, сотни под сотнями. Дается объяснение приема сложения:

К 2 единицам прибавим 7 единиц, получится 9 единиц. Записываем 9 в сумме под чертой на месте единиц; к 3 десяткам прибавим 4 десятка, получится 7 десятков. На месте десятков в сумме пишем 7. К двум сотням прибавим 3 сотни, получится 5 сотен. На месте сотен в сумме пишем 5. Сумма равна 579.

Дети упражняются в записи и объяснении решений приме­ров, запоминают, что сложение в столбик начинают с единиц.

При решении .примеров вида 427+133, 363 + 245, 236 + 464 легко показать, почему письменное сложение следует начинать не с высших разрядов, как устное сложение, а с единиц I раз­ряда: пусть дети решат один из примеров (457+243), начиная сложение с сотен — они сами убедятся в неудобстве такой по­следовательности вычисления, поскольку цифру сотен и десят­ков придется исправлять.

Перед решением примеров на сложение, с переходом через десяток необходимо повторить таблицу сложения и включить подготовительные упражнения вида: 8 ед. + б ед,, 6 дес. + 7 дес. и т. п., в которых требуется выразить результат в более крупных единицах. Так же, как и на предыдущем этапе, сначала приме­ры решаются с подробным объяснением:

К 4 единицам прибавим 8 единиц, получится 12 единищ или 1 десяток и 2 единицы. 2 единицы пишем под единицами, а один десяток прибавим к десяткам и т. д.

Постепенно надо перейти к краткому пояснению: 4 да 8 — двенадцать, 2 пишу, 1 запоминаю; 4 да 1 — пять, да еще 1— шесть, 6 пишу; 5 и 2 — семь, всего 762. Подробного пояснения требуют от ученика, если он допустил ошибку.

На заключительных уроках изучения письменного сложения учащиеся знакомятся с формой записи и рассуждением при сло­жении нескольких слагаемых.

Помимо усвоения учащимися приема выполнения письменно­го сложения, на всех этапах изучения данной темы необходимо добиваться выработки навыка быстрых и правильных вычис­лений. С этой целью включают в достаточном количестве раз­нообразные упражнения: решение примеров, задач, уравнений и др.

Чтобы учащиеся наряду с письменными упражнялись в уст­ных вычислениях, полезно давать такие задания: «Записывайте решения примеров столбиком только тогда, когда устно решить трудно (например: 610 + 290, 638 + 294, 605 + 295)».

Работа над письменными приемами вычитания строится ана­логично. Сначала рассматривают правило вычитания суммы из суммы, а затем раскрывают прием письменного вычитания. Пер­выми вводятся самые легкие случаи вычитания вида: 563 — 321. Детям предлагается вычислить результат устно и выполнить подробную запись приема вычисления:

563-321= (500 + 60+3) - (300 + 20+ 1) =

(500-300) + (60-20) + (3- 1) =242

Они сами догадываются, что проще и быстрее найти резуль­тат, если записать пример столбиком, как при сложении.

На первых порах вычитание выполняется с подробным пояс­нением, затем вводятся краткие пояснения.

Далее рассматривают случаи вычитания чисел с нулями в середине или на конце (547-304, 547-340, 507-304). Перед их включением целесообразно повторить действия с нулем (5 + 0, 5-0, 0-0, 7-0-0, 0:9 + 0 и т. п.).

.Следующими рассматриваются случаи вида: 540—126 и 603-281.

Предварительно нужно повторить соотношение между раз­рядными единицами. (Сколько единиц в 1 десятке? Сколько десятков в 1 сотне?) Сначала решение примеров сопровождается подробным пояснением: «Из нуля не можем вычислить 6 единиц. Берем из 4 десятков ,1 десяток. Чтобы не забыть об этом, ставим точку над цифрой 4. В 1 десятке 10 единиц. Из 10 вычтем 6 единиц, получится 4 единицы. Запишем ответ под единицами. Из 3 десятков выч­тем 2 десятка, получится 1 десяток и т. д.». Аналогично объяс­няется решение примера 603 — 281, когда приходится «зани­мать» 1 сотню, раздроблять ее в десятки и вычитать 8 десятков из 10 десятков. Точка над цифрой сотен (6) показывает, что уже взяли одну сотню и осталось 5 сотен.

Затем вводятся примеры вида: 875 — 528, 628 — 365 и, нако­нец, примеры вида: 831—369. Во всех этих примерах приходит­ся «занимать» (один или два раза) единицу соседнего высшего разряда. В качестве подготовительных упражнений полезно по­вторить табличные случаи вычитания и включить такие устные задания, как 1 дес. 6 ед. —7 ед., 1 сот. 5 дсс. —8 дес. и т. п. Следует также повторить соотношение разрядных единиц и пре­образование единиц высших разрядов в единицы соседних низ­ших разрядов.

Наиболее трудным является решение примеров вида: 900 — 547, 906—547, 1000 — 456, которые рассматриваются в III классе. Затруднения здесь возникают в связи с тем, что преобразование одних разрядных единиц в другие приходится выполнять несколько раз (1000 — 456, так как единиц, десятков и сотен нет, берем 1 тысячу, раздробляем ее в сотни, получаем 10 сотен; из 10 сотен берем одну сотню — ставим точку и запо­минаем, что осталось 9 «уген; 1 сотню раздробляем в десятки, получаем 10 десятков и т. д.). Можно еще раз обратиться к наглядным пособиям (квадратам или счетам) и показать, что 1 сотня — это 9 десятков и 10 единиц, 1 тысяча —это 9 сотен, 9 десятков и 10 единиц.

Для выработки вычислительных навыков на каждом этапе изучения вычитания необходимо давать достаточное количество упражнений тренировочного характера. В процессе выполнения этих упражнений рассуждения учащихся должны становиться более краткими, а вычисления выполняться быстрее.