Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение

                                                                   ,                                                               (1)

где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области   и во всяком случае зависит от  , называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.

Рассмотрим уравнения вида

                                                             .                                                (2)

С помощью замены  , где u  - новая неизвестная функция,  уравнение (2) приводится к уравнению (n-k) -го порядка:

 .

Пример 1.  Решить уравнение  .

Решение.

В это уравнение явно не входит неизвестная функция. Следовательно, полагая  , получим дифференциальное уравнение первого порядка

.

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

,

Переходя к старым переменным, получим дифференциальное уравнение

,

интегрируя которое, получим

2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Рассмотрим уравнения вида

                                                                .                                                                     (3)

С помощью замены   (где p=p(y) - новая искомая функция независимая переменная) порядок уравнения (3) понижается на единицу, так как

,

,

..........................................................

.

Данная подстановка дает уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции p:

.

При осуществлении такой замены возможна потеря решения y=const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения (3) решений такого вида.

Пример 2.  Решить уравнение  .

Решение.

Уравнение не содержит явно переменную x,  делая замену   , уравнение запишется в виде

.

Отсюда находим  . Из первого из двух последних уравнений получаем y=C, а из второго имеем  , или  , откуда

.

Интегрируя, находим

.

Окончательно имеем

,

где    - новая произвольная постоянная.

3. Уравнения, однородные относительно .

Рассмотрим уравнения вида

                                                        ,                                                                          (4)

где F является однородной с показателем m относительно  , т.е.

.

С помощью замены  , где u - новая неизвестная функция, порядок уравнения (4) понижается на единицу. Имеем

,

.................................

.

Данная подстановка дает дифференциальное уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции u:

.

Пример 3.  Решить уравнение   .

Решение.

Поскольку функция   вследствие тождества

однородная относительно переменных  , то данное дифференциальное уравнение однородное с показателем однородности 2. Следовательно, применив подстановку  , получим уравнение

.

Это уравнение Риккати. Непосредственной проверкой можно убедится, что   есть частное решение. Поэтому посредством подстановки   приходим к линейному уравнению

,

решая которое, получаем окончательный ответ

.