15. Численное интегрирование методом парабол. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы, поясняющий данный алгоритм.

Метод Симпсона

В методе Симпсона в каждой части деления подынтегральная функция аппроксимируется квадратичной параболой a₀x²+a₁x+a₂. В результате вся кривая подынтегральной функции на участке [a,b] заменяется кусочно-непрерывной линией, состоящей из отрезков квадратичных парабол. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей под квадратичными параболами.

Т.к. для построения квадратичной параболы необходимо иметь три точки, то каждая часть деления в методе Симпсона включает два шага, т.е.

L_k=2h.

В результате количество частей деления N2=n/2. Тогда n в методе Симпсона всегда четное число.

Определим площадь S₁ на участке [x₀, x₂] (рис.12.2).

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь S₁ равна определенному интегралу от квадратичной параболы на участке [x₀, x₂]:

Неизвестные коэффициенты квадратичной параболы а₀ , а₁, а₂ определяем из условия прохождения параболой через три узловых точки с координатами (x₀y₀), (x₁y₁), (x₂y₂).

На основании этого условия строим систему линейных уравнений:

Решая эту систему, найдем коэффициенты параболы.

В результате имеем:  ..

Для участка [x₂, x₄]:  ..

:::::::::::::::::::

Для участка [x_i-1, x_i+1]:  .,

где  .

Суммируя все площади S₁ под квадратичными параболами, получим квадратурную формулу по методу Симпсона:

где

N2 - количество частей деления.

Точность метода Симпсона имеет порядок (h³/h⁴).

Схема алгоритма метода Симпсона представлена на рис.12.7.

Рис. 12.7.  Схема алгоритма Симпсона (с автоматическим выбором шага)

Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона^[1]) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть приёма заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке   интерполяционным многочленом второй степени  , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности4.

Формула

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке  :

где  ,   и   — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине)

Погрешность

При условии, что у функции   на отрезке   существует четвёртая производная, погрешность  , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле равна:

В связи с тем, что значение   зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:

Представление в виде метода Рунге-Кутта

Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:

Составная формула (формула Котеса)

Для более точного вычисления интеграла, интервал   разбивают на   отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.

где   — величина шага, а   — узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок   разбит на   узлов) в виде

Также формулу можно записать используя только известные значения функции, т.е. значения в узлах:

где   означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум. Следует обратить внимание на удвоение коэффициента перед суммой. Это связано с тем, что в данном случае роль промежуточных узлов играют исходные узлы интегрирования.

Общая погрешность   при интегрировании по отрезку   с шагом   (при этом, в частности,  ,  ) определяется по формуле^[2]:

.

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

.