Поверхностные интегралы

Поверхностный интеграл первого рода

Определение

Пусть   — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на   задана функция 

.

Рассмотрим разбиение   этой поверхности на части 

 кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку 

.

Вычислив значение функции в этой точке   и, приняв за   — площадь поверхности   рассмотрим сумму 

.

Тогда число   называется пределом сумм  , если:

Предел   сумм 

 при   

называется поверхностным интегралом первого рода от функции   по поверхности   и обозначается следующим образом:

Параметрическая форма

Пусть на поверхности   можно ввести единую параметризацию посредством функций

заданных в ограниченной замкнутой области   плоскости   и принадлежащих классу   в этой области. Если функция   непрерывна на поверхности  , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности   существует и может быть вычислен по формуле:

, где:

Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности.

1. Линейность:

  ;

2. Аддитивность:

  ;

3. Монотонность:

   • если  , то

 

• для   если  , то

4. Теорема о среднем для непрерывной функции   и замкнутой ограниченной поверхности  :

.

Поверхностный интеграл второго рода Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность  , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением   причем точка   изменяется в области   на плоскости  , ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности   определена некоторая функция  . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части   и выбрав на каждой такой части точку   вычисляем значение функции   в данной точке и умножим его на площадь  проекции на плоскость   элемента  , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

,

распространенным на выбранную сторону поверхности  , и обозначают символом

(здесь  ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость 

Если вместо плоскости   спроектировать элементы поверхности на плоскость   или  , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

 или  .

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где   суть функции от  , определенные в точках поверхности  .

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

,

где   — единичный вектор нормали поверхности  ,   — орт.

Свойства

1. Линейность:

;

2. Аддитивность:

  ;

3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

Площадь поверхности

Проще всего определяется площадь многогранныхповерхностей: как сумма площадейих плоских граней.Чаще всего площадь поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем (или без края). Обычно это делают с помощью следующей конструкции. Поверхность разбивают на мелкие части с кусочно гладкими границами: в каждой части выбирают точку, в которой существует касательная плоскость, и ортогонально проектируют рассматриваемую часть на касательную плоскость поверхности в выбранной точке; площадь полученных плоских проекций суммируют; наконец, переходят к пределу при всё более мелких разбиениях (таких, что наибольший из диаметров частей разбиения стремится к нулю). На указанном классе поверхностей этот предел всегда существует, и если поверхность задана параметрически кусочно  -гладкой функцией  , где параметры  ,   изменяются в области   на плоскости  , то площадь  выражается двойным интегралом

где  ,

  , 

,

a   и   — частные производные по   и  .

В частности, если поверхность есть график  -гладкой функции   над областью   на плоскости  , то

На основе этих формул выводятся известные формулы для площади сферы и её частей, обосновываются приёмы для вычисления площади поверхностей вращения и т. п.

Для двумерных кусочно гладких поверхностей в римановых многообразиях эта формула служит определением площади, при этом роль  ,  ,   играют составляющие метрического тензора самой поверхности.