7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (7.1)

где и – некоторые постоянные.

Многочлен вида

называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение

=0 (7.2)

называется характеристическим уравнением уравнения (7.1).

Если в уравнении (7.2) коэффициенты и – действительные числа и – его различные действительные корни, то функции образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (7.1) и его общее решение имеет вид

, (7.3)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение таково: . Корнями характеристического уравнения являются числа и . Фундаментальную систему решений образуют функции . Таким образом, общим решением является функция .

Если в уравнении (7.1) коэффициенты и – действительные числа, а уравнение (7.2) имеет действительный корень кратности 2, то фундаментальная система решений уравнения (7.1) состоит из функций и общее решение дифференциального уравнения (7.1) таково:

, (7.4)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение таково: , откуда . Уравнение имеет действительный корень кратности 2. Фундаментальную систему решений образуют функции . Таким образом, общим решением будет функция .

Если в уравнении (7.1) коэффициенты и – действительные числа и уравнение (7.2) имеет комплексно – сопряжённые корни (β ≠ 0), то каждый корень из этой комплексной пары даёт одну и ту же фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (7.1), которая выглядит следующим образом: . Общее решение дифференциального уравнения (7.1) имеет вид

, (7.5)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Корни характеристического уравнения таковы: . Фундаментальную систему решений образуют функции . Общим решением является функция .

8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

, (8.1)

где f(x) ≠ 0. Будем его рассматривать с постоянными действительными коэффициентами p, q.

Структура общего решения неоднородного уравнения (8.1) имеет вид

, (8.2)

где – общее решение соответствующего приведённого однородного уравнения, а – какое-нибудь частное решение самого неоднородного уравнения.

Нахождение общего решения однородного уравнения с постоянными коэффициентами описано в предыдущей теме и связано с корнями характеристического уравнения (7.2).

Рассмотрим способы нахождения частного решения неоднородного уравнения (8.1) при специальных видах правой части f(x).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид

f(x) = e^σx P_n(x), (8.3)

где σ – некоторое действительное число, называемое контрольным числом правой части уравнения (8.1), а

P_n(x) = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ (8.4)

есть многочлен степени n ≥ 0 с действительными коэффициентами. При n = 0 (8.4) задаёт многочлен нулевой степени P_n(x) = a₀ ≠ 0, который не нужно путать с так называемым нулевым многочленом – функцией, являющейся тождественным нулём.

Заметим, что при σ = 0 правая часть уравнения (8.1) будет представлять собой многочлен (8.4).

Пусть правая часть уравнения (8.1) имеет вид (8.3). Тогда

а) если контрольное число σ не является корнем характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного уравнения, то частное решение необходимо искать в виде

у = е^σх Q_n(x); (8.5)

б) если σ является простым (однократным) корнем характеристического уравнения (7.2), то частное решение находят в виде

у = хе^σх Q_n(x); (8.6)

в) если σ является двукратным корнем характеристического уравнения (7.2), то частное решение надо искать в виде

у = х²е^σх Q_n(x). (8.7)

В выражениях (8.5) – (8.7) многочлен Q_n(x) есть многочлен такой же степени, что и многочлен Р_n(x), стоящий в правой части (8.3), т.е. он имеет вид

Q_n(x) = b₀ + b₁x + … + b_nxⁿ. (8.8)

Коэффициенты b_r (r = 0, 1, ..., n) многочлена (8.8) подлежат нахождению. Это делается следующим образом. Для соответствующей ситуации функции (8.5), (8.6), (8.7) и входящие в уравнение производные подставляются в (8.1). После этого сокращают на е^σх и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получится система алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов b_r многочлена (8.8). Этот способ нахождения чисел b_r называют методом неопределённых коэффициентов.

Данный вывод о нахождении частных решений уравнения (8.1) относится и к случаю σ = 0, т.е. случаю, когда правая часть f(x) этого уравнения имеет вид (8.4). Тогда в ситуациях б) и в) можно было бы поступить иначе. В ситуации б) имеем q = 0 и можно понизить порядок уравнения, применяя подстановку z = y′. В ситуации в) имеем, что коэффициенты p и q равны нулю; тогда уравнение может быть решено интегрированием, т.к. оно имеет вид у′′ = P_n(x).

Отметим ещё, что ситуации б) и в) приведённого вывода называются резонансными случаями.

Поясним сформулированный вывод нахождения частных решений рядом примеров.

Пример 1. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

.

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.4), т.е. имеем случай, когда в формуле (8.3) . Корни характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения таковы: и . Тогда общее решение приведённого однородного дифференциального уравнения будет: , где и – произвольные постоянные.

Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5): . После подстановки и в неоднородное уравнение получаем: . Сравнивая многочлены, получим систему для отыскания коэффициентов , :

Тогда , . Частным решением неоднородного уравнения является функция , а общее решение неоднородного уравнения таково:

.

Пример 2. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

.

Решение. Правая часть этого уравнения представляет собой вид (8.4), причём многочлен является многочленом второй степени. Корни характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения таковы: и . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид , где и – произвольные постоянные.

Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5): . После подстановки и в неоднородное уравнение получаем равенство:

.

Система для отыскания коэффициентов , и будет иметь вид

Из системы находим , , . Тогда частное решение неоднородного уравнения таково: . В результате получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения .

Пример 3. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

при начальных условиях , .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.4) с многочленом третьей степени. Корнями характеристического уравнения соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения являются числа и . Общим решением однородного уравнения будет функция , где и – произвольные постоянные.

Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5): . После подстановки и _{в неоднородное уравнение получаем следующее:}

.

Система для отыскания коэффициентов , , и будет иметь вид

откуда , , , . Тогда частным решением неоднородного уравнения является функция .

В результате получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения .

Вычислим и :

,

.

Сравнивая эти значения с данными начальными условиями примера, получим систему для отыскания постоянных и :

В результате решения системы получаем , . Решение дифференциального уравнения с начальными условиями будет таково: .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.3). Контрольное число правой части .

Найдём общее решение соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения . Корнями его характеристического уравнения являются числа и . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид .

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид . Контрольное число не является корнем характеристического многочлена, поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.5) с многочленом первой степени:

.

Подставляя эту функцию, её производные и в неоднородное уравнение, после преобразований получим:

.

Система для отыскания коэффициентов и примет следующий вид:

Тогда =1 и . Частное решение неоднородного уравнения есть . Общее решение представляет собой функцию .

Пример 5. Указать вид, в котором находится частное решение дифференциального уравнения

.

Решение. Правая часть уравнения представляет собой вид (8.3), при этом контрольное число правой части является однократным корнем характеристического многочлена. Поэтому частное решение неоднородного уравнения находим в виде (8.6):

.

Пример 6. Указать вид, в котором находится частное решение дифференциального уравнения

.

Решение. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.3), причём контрольное число правой части .

Характеристическое уравнение соответствующего приведённого однородного дифференциального уравнения имеет единственный двукратный корень .

Поскольку контрольное число является двукратным корнем характеристического многочлена, то частное решение исходного неоднородного уравнения находим в виде (8.7):

.

Пусть теперь правая часть уравнения (8.1) имеет специальный следующий вид:

f(x) = e^αx [P_n(x) cos βx + R_m(x) sin βx], (8.9)

где α, β – действительные числа, причём β ≠ 0, а P_n(x), R_m(x) – многочлены соответственно степени n ≥ 0 и m ≥ 0 с действительными коэффициентами. При этом не исключается, что в (8.9) могут присутствовать члены только с косинусами или только с синусами; это означает, что один из многочленов может быть нулевым (либо P_n(x) ≡ 0, либо R_m(x) ≡ 0).

Случай β = 0 приводит к изученной ситуации (8.3).

Число σ = α ± βi назовём контрольным числом правой части уравнения (8.1).

Наибольшую из степеней многочленов, присутствующих в (8.9), обозначим через S:

S = max {n, m}.

Пусть правая часть неоднородного уравнения (8.1) имеет вид (8.9). Тогда

а) если контрольное число σ не является корнем характеристического уравнения (7.2) соответствующего приведённого однородного уравнения, то частное решение находят в виде

y = e^αx [Q_S(x) cos βx + L_S(x) sin βx], (8.10)

б) если контрольное число σ является корнем характеристического уравнения (7.2) (резонансный случай), то частное решение находят в виде

y = x e^αx [Q_S(x) cos βx + L_S(x) sin βx]. (8.11)

В выражениях (8.10) и (8.11) многочлены Q_S(x), L_S(x) есть многочлены высшей степени S каждый со своими коэффициентами b_r, C_r, подлежащими нахождению методом неопределённых коэффициентов.

К выводу б) сделаем следующее замечание. Комплексные корни алгебраического уравнения (7.2) второй степени с действительными коэффициентами p, q могут являться только сопряжёнными парами α + βi и α – βi, т.е. они у этого уравнения однократны. Поэтому в (8.11) множитель x имеет первую степень (сравните с ситуациями б) и в) предыдущего вывода).

Поясним выводы а) и б) ситуации (8.9) примерами.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.9). Контрольное число правой части не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения в виде (8.10) требует предварительного определения степеней многочленов в этой формуле. Правая часть исходного уравнения содержит многочлены первой и нулевой степени. Поэтому в виде частного решения оба многочлена должны быть высшей степени, т.е. первой:

.

Подставляя эту функцию и её производные

и

в исходное уравнение, после преобразований получаем:

. Система для нахождения коэффициентов примет вид:

Решая систему, находим коэффициенты: , , , . Общим решением неоднородного уравнения будет функция , где и – произвольные постоянные.

Пример 8. Указать вид общего решения дифференциального уравнения

.

Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид (8.9). Контрольное число правой части является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения в виде (8.11) требует предварительного определения степеней многочленов перед синусом и косинусом в этой формуле. Правая часть исходного уравнения содержит многочлены второй и первой степеней перед косинусом и синусом. Поэтому частное решение должно содержать многочлены второй степени, а именно

.

Тогда общее решение неоднородного уравнения таково: , где и – произвольные постоянные.