2 Дифференциальные уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением с разделёнными переменными называется уравнение вида
f1(y)dy = f2(x)dx, (2.1)
которое записано в дифференциальной форме. Здесь f1(y), f2(x) – известные непрерывные функции своих аргументов. Переменные х и у разделены, поскольку в уравнении (2.1) левая часть содержит лишь переменную у и её дифференциал, а правая часть – только переменную х и её дифференциал.
Соотношение вида
(2.2)
является общим интегралом дифференциального уравнения с разделёнными переменными.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
.
Решение. Так как переменные разделены, то
Найдя интегралы, имеем
или
.
Тогда у = ( – 0,5cos x + 0,5C)2.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
f1(x)q1(y)dy = f2(x)q2(y)dx. (2.3)
С помощью деления
на f1(x)q2(y)
≠ 0 уравнение (2.3) приводится к виду
,
интегрируя которое находим общий
интеграл дифференциального уравнения
«в квадратурах»
.
(2.4)
Отметим, что при делении возможна потеря частных решений.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Учитывая, что
,
имеем
,
откуда
.
Интегрируя это равенство, получим
следующее:
Тогда
.
Надо добавить ещё потерянное при делении
решение у
= 0.
3 Однородные дифференциальные уравнения
Функция f(x, y) называется однородной функцией нулевой степени, если для любого t ≠ 0 выполняется равенство
f(tx, ty) = f(x,y). (3.1)
Уравнение (1.2) называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если f(x, y) есть однородная функция нулевой степени.
Тогда уравнение (1.2) можно привести к виду
.
(3.2)
Решение таких уравнений осуществляется с помощью замены переменной
,
(3.3)
где u – новая функция переменной х.
Дифференцируя
выражение y
= ux,
получаем
.
Подставляя y = ux и в (3.2), получаем:
,
где Ф(u) = φ(u) – u. Переменные разделяются:
.
Общее решение «в квадратурах» выглядит следующим образом:
,
где С – произвольная постоянная (С > 0).
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Уравнение является однородным, так как
в правой части равенства стоит функция
переменной
.
С помощью замены (3.3) уравнение принимает
вид
.
Преобразуя и разделяя переменные,
получаем
.
Проинтегрируем левую часть последнего равенства:
.
Возвращаясь к дифференциальному уравнению, получаем
=
+ ln
С1
(С1
> 0).
Учитывая, что
,
окончательно имеем
=
.
Получено решение в неявном виде.