Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по теории организации.doc

Скачиваний:

Добавлен:

24.09.2019

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 5753 54 55 56 57 > Следующая >>>

4.2. Задача наискорейшего выхода предприятия на потребность

Постановка задачи. Пусть – фондоемкость и коэффициент выбытия специального основного фонда предприятия, т.е.

где – поток выбывающего основного фонда предприятия. Величины примем за постоянные. Уравнение развития предприятия запишем в виде [19]

(4.17)

где – поток специальных основных фондов (ОПФ) – управляющая функция, на которую наложены ограничения

(4.18)

где – минимальное и максимальное значение потока ОПФ.

Рассмотрим задачу оптимального выхода на потребность предприятия, описываемого уравнениями

(4.19)

Здесь и во всех задачах, где принимается , предполагается, что оборотные фонды не стеснены, их достаточно и они определяются в необходимом количестве по уравнениям выпуска продукции. Кроме того, здесь рассматривается только часть поступающих в объект основных фондов, которую назвали специальной. Остальное оборудование (основные фонды), поступающее в объект, находится в определенной пропорции по отношению к специальным. Они определяются через специальные фонды и эти пропорции. Это всегда имеется в виду и в дальнейшем не рассматривается.

Здесь в отличие от предыдущей задачи интервал заранее не задан. Но задана потребность в конечной продукции как функция времени, которой требуется достичь как можно быстрее.

Y₁

P(t)

Y₁(t)

Y₁(0)

0 min T t

усть

– потребность в продукции предприятия, которая здесь считается известной непрерывно-дифференцируемой функцией времени в рассматриваемом интервале времени.

Критерий качества процесса

Рис. 4.2

(4.20)

Введем новую переменную

Тогда получим

Решим следующую вариационную задачу: требуется найти такое допустимое управление процессом (4.19), чтобы за минимальный промежуток времени поток выпуска достиг потребности, т.е. выполнялось равенство (рис.4.2):

Функция f равняется Поэтому

Для решения вариационной задачи применим принцип максимума. Составим функцию Гамильтона [19]

и сопряженную систему уравнений

(4.21)

На правом конце траектории при должно выполняться условие трансверсальности

или исключая множитель , получим

(4.22)

где – произвольная, но отрицательная постоянная.

Согласно принципу максимума, функция Н достигает максимума на допустимых управлениях для каждого фиксированного t. Из этого условия и того, что , получим:

(4.23)

Из выражения (4.23) следует, что управление состоит из кусочно-постоянных участков. Пусть – интервал постоянства управления, тогда при из системы (4.3) следует, что

, (4.24)

где – начальное значение мощности в момент времени .

Из системы (4.20) получим

(4.25)

где – постоянная интегрирования.

При величину определим из условий (4.22):

(4.26)

В эту систему входит неизвестная постоянная . Из формул (4.21) и (4.22) следует соотношение

(4.27)

Используя (4.26) и (4.27), найдем

(4.28)

Согласно принципу максимума . В остальном величина произвольная. Поэтому постоянная имеет произвольную величину, но знак, противоположный знаку величины

Введем следующее предположение относительно начального условия. Если , то до момента удовлетворения потребностей . В самом деле, для выполнения неравенства в силу непрерывности функций , необходимо достижение равенства в некоторый момент времени , т.е. удовлетворение потребности раньше времени Т. Поэтому все время . Аналогично, если , то все время до удовлетворения потребностей выполняется неравенство . Только в момент удовлетворения потребностей достигается равенство . Функция к потребности приближается снизу. При этом в окрестности точки встречи и, тем более, Тогда из формулы (4.28) следует . Для конкретности примем . Рассмотрим первый случай .