Введем условия трансверсальности

(3.103)

где – постоянный множитель Лагранжа, – произвольная отрицательная постоянная.

Принцип максимума [19]. Для того, чтобы допустимое управление u переводящее процесс, описываемый системой (3.93), из состояния при в состояние, определенное уравнением (3.101), и соответствующий ему процесс были оптимальными по быстродействию, необходимо существование ненулевых решений системы (3.98), (3.102) и выполнение условия максимума (3.100) при каждом фиксированном t и y удовлетворяющих уравнениям (3.93), (3.98),(3.101) – (3.103).

Замечание. Здесь принцип максимума изложен для задачи Майера, когда минимизируемый функционал имеет вид (3.96). Для применения принципа максимума к другим оптимизационным задачам они сначала должны быть преобразованы к этому виду.

При решении задачи Лагранжа минимизируется функционал:

, (3.104)

который путем введения дополнительного уравнения связи

(3.105)

с начальным условием

(3.106)

сводится к виду , то есть задача Лагранжа сводится к задаче Майера.

Метод Лурье – Риккати. Пусть процесс описывается системой линейных дифференциальных уравнений типа (3.93), которые в матричной форме имеют вид:

(3.107)

где , t – время, – фазовые координаты, – управления, – матрицы параметров.

Вся информация о свойствах объекта содержится теперь в числовых таблицах-матрицах параметров.

Управление u = u(t) – кусочно-непрерывная вектор-функция с конечным числом точек разрыва, принимающая свои значения из некоторой области U_0, т.е. u .Область U₀ замкнута или открыта. Управления, удовлетворяющие этим условиям, будем называть допустимыми.

Задача оптимальной стабилизации: требуется найти такое допустимое управление u процессом (3.107), чтобы функционал

(3.108)

или в матричной форме

(3.109)

где – заданная неотрицательно-определенная матрица, – заданная положительно-определенная матрица, принимал наименьшее значение.

Управление, обеспечивающее решение поставленной задачи, и соответствующий ему процесс будем называть оптимальными.

Метод Лурье – Риккати [17]. Пусть существует положительно-определенная матрица S^*, являющаяся решением матричного квадратичного уравнения

(3.110)

и матрица K^*, связаная с S^* соотношением

(3.111)

Тогда при любых начальных условиях оптимальная стабилизация обеспечивается управлением

(3.112)

причем минимальное значение показателя качества равно

(3.113)

Для существования единственного положительно-определенного решения матричного квадратичного уравнения (3.110) достаточно, чтобы пара матриц A и B была невырожденной, т.е. выполнялось условие

Описанная процедура сводит задачу оптимальной стабилизации к чисто алгебраической задаче поиска решения матричного квадратичного уравнения Лурье – Риккати.

Метод динамического программирования. Постановка задачи. Рассмотрим задачу минимизации функционала [7]

(3.114)

на траекториях системы

(3.115)

которая нами исследовалась с помощью принципа максимума.