Внимание и еще раз внимание!
Так
как
,
то:
Таким
образом:
–
действительная часть функции
;
–
мнимая часть функции
.
Проверим
выполнение условий Коши-Римана:
Проверка
второго условия:
Получилось
одно и то же, но с противоположными
знаками, то есть условие 
также
выполнено.
Условия
Коши-Римана выполнены, следовательно,
функция является дифференцируемой:
Вычислим
значение производной в требуемой
точке:
Ответ:
,
,
условия Коши-Римана выполнены, 
Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:
Пример 6
Определить
действительную
и
мнимую
части
функции 
.
Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Вычислить 
.
Решение и образец чистового оформления в конце урока.
В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.
Сначала о так называемых формулах Эйлера:
Формулы Эйлера
Для
любого действительного числа 
справедливы
следующие формулы:
Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.
Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:
Пример 7
Определить
действительную
и
мнимую
части
функции 
.
Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Найти производную.
Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:
Поскольку
,
то:
(1)
Подставляем 
вместо
«зет».
(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.
(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.
(4) Используем школьное действие со степенями.
(5)
Для множителя 
используем
формулу Эйлера 
,
при этом 
.
(6) Раскрываем скобки, в результате:
–
действительная
часть функции
;
–
мнимая часть функции
.
Дальнейшие
действия стандартны, проверим выполнение
условий Коши-Римана:
Частные
производные опять
не очень сложные, но на всякий пожарный
расписал их максимально подробно.
Проверяем второе условие:
Условия
Коши-Римана выполнены, найдём производную:
Ответ:
,
,
условия Коши-Римана выполнены, 
На вторую формулу Эйлера задание для самостоятельного решения:
Пример 8
Определить
действительную
и
мнимую
части
функции 
.
Проверить выполнение условий Коши-Римана,
найти производную.
Полное
решение и ответ в конце урока.
! Внимание!
Знак «минус» в формуле Эйлера 
относится
к мнимой части, то есть 
.
Терять минус нельзя!
Непосредственно
из формул Эйлера можно вывести формулу
разложения синуса и косинуса на
действительную и мнимую часть. Сам вывод
достаточно занудный, вот он, кстати, у
меня в учебнике перед глазами (Бохан,
Математический анализ, том 2). Поэтому
сразу приведу готовый результат, который
опять полезно переписать к себе в
справочник:
Параметры «альфа» и «бета» принимают только действительные значения, в том числе они могут быть сложными выражениями, функциями действительной переменной.
Кроме того, в формуле нарисовались гиперболические функции, при дифференцировании они превращаются друг в друга, не случайно я включил их в таблицу производных.
Пример 9
Определить
действительную
и
мнимую
части
функции 
.
Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Производную, так и быть, находить не
станем.
Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:
Поскольку
,
то:
