Решение

Корни данного уравнения должны удовлетворять условию (условия существования квадратного коря из выражения ). Заметим, что . Тогда

Следовательно, корнями уравнения могут быть числа , и . По условию задачи требуется найти значение параметра а, при которых уравнение имеет ровно два различных корня. Для отбора искомых значений параметра на плоскости Oax построим графики функций , и (см. рис.2). Каждая прямая при a = const параллельна оси Ox и пересекает каждый из построенных графиков, и ордината точки пересечения дает значения корня исходного уравнения при условии, что . Точки (a, x),координаты которых удовлетворяют последнему неравенству, расположены на плоскости Oax в выделенной фоном области.

Имеется пять критических положений этих прямых:

1. , 2) , 3) , 4) , 5) .

В этих случаях они проходят через точки пересечения графиков. Точки – 2, - 1, - 0,5, 0 и 1 разбивают числовую прямую Oa на шесть промежутков. Рассмотрим каждый из них:

1. и (2) . На этих промежутках уравнение имеет три корня.

. Уравнение имеет два корня ( график функции расположен ниже графика функии ).

(4) . Уравнение имеет один корень, так как графики функций и – ниже графика функции .

(5) .Уравнение имеет два корня ( график функции - ниже графика функции ).

(9) . Уравнение имеет три корня.

Соответственно при каждом из значений , или уравнение имеет два корня.

Ответ: .

Пример 4: Определить значение параметра a, при которых уравнение будет иметь наибольшее число корней.

Решение

Приведем уравнение к следующему виду . (*)

Рассмотрим два случая.

1. Если , то уравнение будет иметь вид . Отсюда и . Для того, чтобы найденные значения являлись решениями уравнения (*), должны выполняться условия:

Если , то ;

Если , то .

2. Если , то уравнение будет иметь вид .

На рис.3 представлены графики функций , стоящей в правой части последнего уравнения, и графики функций ,стоящей в левой его части а. Так как должно выполняться условие , то для существования корней должно быть и , т.е

. Это возможно только при (см.рис.3)

Причем решение при этих значениях a будет одно. При получается ; при получим ; при решением будет некоторое .

Сравнивая полученные решения в первом и втором случаях, имеем: при уравнение не имеет решений; при уравнение имеет одно решение; при уравнение имеет два решения.

Ответ: При уравнение имеет два корня.

Пример 5: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно восемь различных решений.

Решение:

1 Способ. ,

Построим графики функций при и . Графиком первой функции является семейство парабол с вершинами, расположенных на оси ОУ: у=0,

и т.д. (в зависимости от k=0,1,2,3,4,…). Графиком второй функции является прямая, параллельная оси ОХ.

По графику определяем, что

ровно восемь решений (точек пересечения) возможно в том случае, если прямая расположена выше прямой но ниже прямой . Следовательно, ,

.

При ,

при .

Ответ: ,

Решение: 2 способ. , Заметим, что параметр а может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но не равен нулю.

Построим график функции при у>0 , т.е. или (полуокружность с центром в начале координат) . Графиком второй функции при является семейство прямых, параллельных оси ОХ, проходящих через точки с ординатами у=0, , , , и т.д.

Рассмотрим полуокружность радиуса r=a. Если радиус , то полуокружность пересекает серию прямых ровно в восьми точках. Аналогично рассуждаем для случая а<0.

Ответ: ,

Пример 6: Найдите все значения параметра a, при котором уравнение имеет три различных корня.