Вопрос 10

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного события (или просто события).

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.

К понятию «вероятность» существует несколько подходов.

Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств. Такой подход называется теоретико-множественным.

Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Рассмотрим множество W всех возможных исходов опыта; каждый его элемент   будем называть элементарным событием, а множество Ω – пространством элементарных событий. Любое событие A в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества Ω:  .

Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит.

События A_k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

И ногда недостаток конечного числа возможных исходов испытания можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности.

Рассмотрим некоторую замкнутую область G в пространстве (рис.5.1). Обозначим через   ее меру. Если  область – одномерная (отрезок), то мерой будет ее длина, если область двумерная (некоторая плоская фигура), то ее мера - площадь, если трехмерная (тело в пространстве), то – объем. Пусть область D полностью содержится в области G. Мера области D -  .

Рассмотрим следующий эксперимент: случайно из области G выбирается точка А.  Необходимо определить вероятность попадания точки А в подобласть D.

Роль элементарных событий в данном эксперименте играют точки области G. Все множество точек области Gобразует пространство элементарных событий. Все элементарные события – равновозможны, так как все точки области G равноправны в отношении попадания туда случайной точки A. Но число этих элементарных событий бесконечно. Поэтому в данном случае классическое определение вероятности не применимо.

Согласно геометрическому определению,

вероятность  случайного события А равна отношению меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

.

Итак, статистическая вероятность случайного события А равна относительной частоте появления этого события в ряде испытаний, т.е.

,

где m – число испытаний, в которых появилось событие А; 

n – общее число испытаний.

         Это и есть статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности

По классическому определению вероятность случайного события Р(А) равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов, составляющих пространство элементарных событий, т.е.

.

(1.1)

Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов того или иного множества и часто оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной.

Классическое определение оправдано, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит эксперимент, и вследствие этого симметрии исходов испытания, что приводит к понятию "равновозможности" исходов.