1. Сведение к противоречию.

Пусть правильно построенное рассуждение с элементарными высказываниями .

Тогда , отсюда и .

2. Представление формул для и в виде кнф

, где Д и Д^’ – дизъюнкты.

3. Правило резолюций R для обработки совмещенного списка дизъюнктов.

Объединенный Д₁ = С₁  х_i

список Д₂ = С₂  х_i

дизъюнктов Д, ………….  С₁  С_j

входящих ….……… 

в P и Д_j = С_j  х_i

…………. Оставшийся

Д_m+n список

дизъюнктов

а) Каждый дизъюнкт из Д представим в виде , где «С» все остальные переменные, входящие в дизъюнкт, x_i выделенная переменная с отрицанием , либо без отрицания . Из списка выделяется пара, как показано на рисунке, с общей переменной x_i с отрицанием и без него.

б) По правилу резолюции (закону резолюции), который является тавтологией (доказательство этого факта можно сделать)

пара дизъюнктов редуцировалась в дизъюнкт ⊦ .

в) Образуется новый список дизъюнктов из дизъюнктов. (оставшийся список дизъюнктов). Такой список называется редуцированным. Очевидно, что размерность редуцированного списка по сравнению с исходным уменьшилась на «1».

г) далее правило R применяют к редуцированному списку дизъюнктов.

д) Останов наступает, когда в списке остаются только два дизъюнкта вида и , либо применение R невозможно.

Список дизъюнктов редуцировался в КНФ

В этом случае говорят, что S логически следует из Р или S выводимо из Р.

Пример 4 Доказательство выводимости правильного умозаключения методом резолюции.

Доказательство «от противного». Пусть следствие (умозаключение) ложно, т.е. , тогда . Список дизъюнктов – добавляется к списку дизъюнктов посылок.

Алгоритм проверки выводимости правильного построенного умозаключения Вонга (Wong, 1960, США)

Выводимость P из S означает, что из множества посылок

⊦ множество следствий.

Это соответствует логической формуле или более детально

, где .

Правильно построенному рассуждению (умозаключению) должна соответствовать тавтология .

Каждая и суть ППФ, построенная из связок &, , , .

⊦ называется строкой Вонга.

Правила обработки строки Вонга, приводящие к доказательству выводимости P ⊦ S таковы, что каждое правило суть логический закон и является тождественно истинным преобразованием.

Пусть дана строка Вонга

⊦

левая часть правая часть

строки строки

1. Замена импликации в строке на ДНФ:

В Р_i и S_j, там, где встречается знак «».

…⊦ … строка с «»

…⊦ … строка ДНФ

2. Избавление от знака отрицания « » переносом из одной части строки в другую.

а) ⊦ , добавление к правой части.

⊦ редуцированная строка Вонга.

б) Р ⊦ добавление к левой части

Р,А ⊦ редуцированная строка Вонга.

Перенос любой переменной в левую (правую) часть строки всегда вызывает её «отрицание».

Избавление от знака отрицания:

а) Строка Вонга [( , B) ⊦ (C)] редуцируется в строку

[(B) ⊦ (А, C)] ⊦ (С) – строка Вонга интерпретируется как логическая формула . Редуцированная строка Вонга [ ⊦ ] и соответствующая формула .

Правило редуцирования строки Вона является тождественно истинным преобразованием. Доказательство тождественности двух выражений.

Таким образом, если из выводима С, то из В выводима

б) ⊦ редуцируется в ⊦ С] и соответственно

3. Расщепление на строки (левой и правой части строки Вонга).

а) ⊦ S ; расщепление левой части

⊦ S; ⊦ S

б) ⊦ ; расщепление правой части

⊦ ; ⊦

Выводимость (тавтология, тождественная истинность каждой строки должна быть доказана).

⊦ ; расщепление – ⊦ и ⊦ ; ;

4. Замена логических связок на «,» (правило перечисления).

Строка Вонга

⊦

редуцируется в строку

⊦