Т еорема Вычетов.

Основная теорема о вычетах. Пусть функция f(z) аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области  , границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек z1, z2, z3, …, zn, расположенных внутри L. Тогда  .

 Док-во. Окружим каждую особою точку zk, k = 1, 2, …,n контуром    таким, чтобы все контуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L,  , функция аналитична, поэтому по 19.6.2.2. Теореме Коши для многосвязной области 

. По определению вычета,  , следовательно,  , что и требовалось доказать.

№11 Основные формулы теории вероятности.

Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле (теорема сложения)

.

События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут произойти одновременно АВ=. Если события несовместны, то

Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Условная вероятность и теорема умножения.

Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:

Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух событий (теорема умножения)

.

Формула умножения для трех событий:

.

Независимость событий.

два события A и B независимы, если справедливо равенство

Р(АВ) = Р(А)  Р(В).

Противоположные события. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

.

З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

p + q = l

З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

.

№13 Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. наивероятнейшее число наступления события. Формула Пуассона 

Пусть проводится серия из n испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p, независимо от номера испытания и результата предыдущего опыта. Такие серии опытов называются последовательностью независимых испытаний или схемой Бернулли. В связи со схемой Бернулли рассматриваются такие задачи: 1) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит ровно k раз:  ; 2) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит не менее чем   раз и не более, чем   раза: 

Указанные вероятности находят по формуле Бернулли:

Если число n велико, а p не слишком мало, то для вычисления вероятности можно воспользоваться приближенными (асимптотическими) формулами Муавра-Лапласа (локальная теорема Муавра-Лапласа; интегральная теорема Муавра-Лапласа).

Локальная теорема Муавра – Лапласа:

, где   и 

Интегральная теорема Муавра – Лапласа:

, где 

Функции j(´) и Ф(х) табулированы, то есть таблицы значений этих функций приведены в каждом учебнике по теории вероятностей. Можно указать некоторые свойства этих функций:j(-x)=j(x); Ф(-х)=-Ф(х); Ф(0)=0; Ф(х) ® 0,5 при х ® ¥.

Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности появления k раз события А в серии из n испытаний можно воспользоваться формулой Пуассона

, где l=n×p.

Число   успехов, при котором достигается наибольшая из возможных вероятностей, называется наивероятнейшим числом успехов. Оно определяется как целое число на промежутке np – q£ m £ np+p.

Формула Бернулли

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность   того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:  , где  .

Наивероятнейшее число наступления события

Число k₀ называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k₀ раз, превышает вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k₀ определяют из двойного неравенства

np-q≤k₀≤np+p,

причем:

а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k₀;

б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k₀ и k₀+1;

в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k₀ = nр.