№1 Ортогональные функции.

Две вещественные функции   и   на интервале   называются ортогональными, если

Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.

Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом   функции   и  , если

где   — скалярное произведение векторов   и   — значений векторнозначных функций   и   в точке  ,   — точка области  , а   — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных  ,   скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных  ,  :  .

Ряд Фурье по ортогональной системе функций

  Определение. Функции j(х) и y(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если

  Определение. Последовательность функций j₁(x), j₂(x), …, jn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.

 Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций.

 

  Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если

 

  Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций j₁(x), j₂(x), …,jn(x) называется ряд вида:

коэффициенты которого определяются по формуле:

,

где f(x) =   - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].

  [an error occurred while processing this directive]

  В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:

№ 3 разложение в ряды фурье по системе косинусов и синусов

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

№ 5 Предел ФКП. Непрерывность ФКП. Производная ФКП. Условия Каши-Римана. Предел ФКП.          Определение. Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z₀ = x₀ + iy₀. Комплексное число w₀ = u₀ + iv₀ называется пределом функции при z → z₀, если для любой ε-окрестности U(w₀, ε) (ε>0) точки w₀ найдётся такая проколотая δ-окрестность   точки z₀, что для всех   значения f(z) принадлежат U(w₀, ε). Другими словами, если z₀ - собственная точка плоскости, то для любого ε > 0 должно существовать такое δ > 0, что из неравенства 0 < |z − z₀| < δ следует неравенство | f(z) − w₀| < ε (аналогично расписывается определение для несобственной точки z₀ = ∞). Таким образом, на языке ε - δ определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно:  .          Неравенство | f(z) − w₀| < ε означает, что |(u(x, y) + iv(x, y)) − (u₀ + iv₀)| < ε, или |(u(x, y) - u₀) + i(v(x, y) − v₀)| < ε. Для модуля комплексных чисел справедливы все основные свойства абсолютной величины, в частности |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, поэтому |(u(x, y) - u₀) + i(v(x, y) − v₀)| < ε  Отсюда легко получить, что    . Таким образом, существование предела функции комплексной переменной равносильно существованию пределов двух действительных функций u(x, y) и v(x, y) двух действительных переменных. Поэтому в комплексный анализ автоматически переносятся все теоремы о пределах функции в точке (предел суммы функций и т.д.). Так же можно доказать, что если w₀ = |w₀|·(cos arg w₀ + i sin arg w₀) ≠ 0, то   (для существования нулевого предела достаточно, чтобы ). .

 Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z₀ = x₀ + iy₀. Функция называется непрерывной в точке z₀, если:          1. существует  ;          2.            Как и в случае предела, можно показать, что w = f(z) будет непрерывной в точке z₀ = x₀ + iy₀ тогда и только тогда, когда функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x₀, y₀), поэтому на ФКП переносятся все основные теоремы о непрерывности функций.

Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел  . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.          В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия -аналитичности функции в точке и в области.          Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.          Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.          Примеры. 1. f(z) = z ². В этом случае f (z + Δz) = (z + Δz)² = z ² + 2 z·Δz + (Δz) ²;  . Таким образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z.          2. f(z) = | z |² = x² + y². Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке z ≠ 0. Будем стремить Δz → 0 по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае Δz = Δx), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае Δz = i Δy). В первом случае  , во втором  . Эти пределы равны, только если 2х = −2iy ⇒ х = y = 0. Таким образом, функция f(z) = | z |² = x² + y² может быть дифференцируема в единственной точке z = 0, во всех остальных точках пределы   различны в зависимости от способа стремления Δz → 0, т.е.   не существует. 

 Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.          Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения  .          Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция f(z) = | z |² = x² + y² не имеет производных в точках z ≠ 0: подойдём к точке z двумя путями - по направлениям Δz = Δх (Δy = 0) и Δz = iΔy (Δx = 0).          В первом случае: Δw = (u(x + Δx, y) + iv(x + Δx, y)) − (u(x, y) + iv(x, y)) =  = (u(x + Δx, y) − u(x, y)) + i(v(x + Δx, y) − v(x, y)) = Δ_xu + iΔ_xv;  .          Во втором случае: (напомню, что  ) Δw = (u(x, y + Δy) + iv(x, y + Δy)) − (u(x, y) + iv(x, y)) =  = (u(x, y + Δy) − u(x, y)) + i(v(x, y + Δy) − v(x, y)) = Δ_yu + iΔ_yv;  . Пределы должны быть равны, поэтому  .          Достаточность. По предположению теоремы, функции u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке (х,у), поэтому   где α(Δx, Δy), β(Δx, Δy) - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с  , т.е.  ,  . Найдём  .    .          Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Δz = Δx + iΔy:  ; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим   на  ,   на  ; тогда  . Отсюда следует, что существует  , т.е. функция дифференцируема в точке (х,у).          Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул  , эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа:   (в точках, где g(z) ≠ 0. 

№ 7. Вычеты и их приложения. Основная теорема теории вычетов.

основная теорема о вычетах: если функция   является аналитической всюду в замкнутой области  , за исключением конечного числа изолированных особых точек  , лежащих внутри  , то

     Пример: Вычислить интеграл  .

    Решение:  Точка   является особой для подынтегральной функции, причем, согласно классификации, это полюс третьего порядка. Тогда

и соответственно  .