21) Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
Рассмотрим
функцию 
определенную
и непрерывную на промежутке 
.
Очевидно, определение определенного
интеграла на таком промежутке бессмысленно.
Предположим, что данная функция
интегрируема
на любом конечном промежутке вида [a,
A]. Тогда интегралом от этой функции по
бесконечному
промежутку
назовем 
.
Обозначать этот интеграл будем как 
.
Таким образом
=
Эталонный
интеграл.
интеграл
Если
,
то подынтегральная функция
стремится
к
при
,
так что получается несобственный
интеграл второго рода.
Рассмотрим такие случаи:
1)
.
Тогда интеграл вычисляется так:
поскольку
при
имеем
и
2)
.
Тогда
то
есть интеграл расходится, поскольку
при
.
3)
.
Тогда
и
интеграл снова расходится, поскольку
при
,
если показатель
.
22) Свойства несобственных интегралов.
А) Признак сравнения несобственных интегралов 1 рода. Если 0 меньше (или равен) f(x) меньше (или равна) g(x) на промежутке [0;+ бесконечности], то:
Из
сходимости
следует
сходимость
.
Из расходимости следует расходимость .
Теорема очевидна из геометрического смысла.
Б) Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла 1 рода.
Если
несобственный интеграл 1 рода
сходится,
то
тоже
сходится.
Следует из первого свойства.
23)Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку.
Опр.
1.Если
сходится интеграл
,
то интеграл
называется
сходящимся абсолютно. Если сходится
интеграл
,
а интеграл
расходится,
то интеграл
называется
сходящимся условно.
Примеры
исследования интегралов на абсолютную
сходимость:
15.
.
;
интеграл от большей функции сходится,
следовательно,
сходится,
следовательно, исходный интеграл
сходится абсолютно.
16.
.
,
первый множитель,
,
стремится к нулю при
,
следовательно, ограничен:
,
интеграл от последней функции сходится,
следовательно, исходный интеграл
сходится абсолютно.
Приведённые
примеры показывают, что переход от
к
и
применение к последнему интегралу
методов исследования на сходимость
несобственных интегралов от неотрицательных
функций, в случае его сходимости,
позволяет сделать вывод и о сходимости
(притом, абсолютной) исходного интеграла.
Если же интеграл от | f(x)|
расходится, решение задач значительно
усложняется.
Пример:
исследовать на сходимость интеграл
.
1.
Докажем, что этот интеграл сходится.
Интегрируем его по частям:
.
Для
последнего интеграла
,
т.е. он сходится абсолютно, следовательно,
исходный интеграл сходится.
2.
Докажем, что для исходного интеграла
абсолютной сходимости нет, т.е. что
расходится.
Так как
,
то
,
для последнего интеграла, по доказанному
выше, существует конечный предел при
,
для предыдущего - нет, следовательно,
расходится.
Вывод
- исходный интеграл сходится условно.
Установить
условную сходимость несобственного
интеграла по бесконечному промежутку
при отсутствии абсолютной сходимости
позволяют два следующих признака:
признак
сходимости Абеля:
1.
пусть функции f(x)
и g(x)
определены в промежутке
,
причём f(x)
интегрируема в этом промежутке, т.е.
интеграл
сходится
(условно или абсолютно);
2.
g(x)
монотонна и ограничена:
.
Тогда интеграл
сходится.
признак
сходимости Дирихле:
1.
пусть функция f(x)
интегрируема в любом конечном промежутке
[a,
b],
и интеграл по этому промежутку ограничен
(как функция верхнего предела b):
;
2.
g(x)
монотонно стремится к нулю при
:
.
Тогда интеграл
сходится.
Применим,
например, признак Дирихле к
.
Здесь f(x)
= cos x,
g(x)
= 1/x,
условия признака выполнены, поэтому
интеграл сходится условно.
24) Несобственные интегралы 2 рода.
Определение 1.
Интеграл
вида:
,
где y=f(x) непрерывна (a;b], a - точка разрыва
2 рода. Называется несобственным
интегралом 2 рода.
Если предел конечен, то несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся.
Определение 2.
Если предел равен бесконечности или не существует вовсе, то несобственный интеграл 2 рода называется расходящимся.
Пусть функция y=f(x) имеет разрыв 2 рода в точке C, принадлежащей (a;b). В остальных точках промежутка непрерывна.
Определение 3.
Если оба несобственных интеграла 2 рода справа сходятся, то несобственный интеграл слева называется сходящимся.
Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то несобственный интеграл слева называется расходящимся.
интеграл
Если
,
то подынтегральная функция
стремится
к
при
,
так что получается несобственный
интеграл второго рода.
Рассмотрим такие случаи:
1)
.
Тогда интеграл вычисляется так:
поскольку
при
имеем
и
2)
.
Тогда
то
есть интеграл расходится, поскольку
при
.
3)
.
Тогда
и
интеграл снова расходится, поскольку
при
,
если показатель
.