
- •Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Интегрируемость непрерывных функций
- •Свойства определенного интеграла (об изменении знака, свойства линейности и аддитивности). Найдите…
- •Определенный интеграл
- •Классы интегрируемых функций.
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула интегрирования по частям.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Площадь криволинейной трапеции.
- •17. Интеграл по симметричному промежутку для четной и нечетной функции
- •18. Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •19. Вычисление длины дуги плоской кривой с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •20. Вычисление объема тела по площади поперечного сечения. Объем тела вращения. Вывод формулы.
- •21) Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
- •25,26) Двойные интегралы Определение и основные свойства
- •Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов. Аддитивность.
- •Линейность.
- •Оценка модуля интеграла.
- •27) Вычисление двойного интеграла Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.
- •28. Полярная система координат и переход к ней под знаком двойного интеграла.
- •34) Необходимый признак сходимости числового ряда (доказать)-
- •37) Лнду (Метод Лагранжа).
- •38) Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка.
- •39) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •40) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •41) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •42)Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах: определение, метод решения.
- •Теорема.
- •43) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: определение, решение.
- •44) Дифференциальные уравнения первого порядка: определение, общее решение, теорема единственности, задача Коши. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения…
- •Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть функция интегрируема на отрезке . Определим на этом же отрезке функцию
,
которую
часто называют интегралом с переменным
верхним пределом. Из свойства аддитивности
определенного интеграла вытекает
корректность определения функции
для
.
Теорема (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если функция интегрируема на отрезке , то функция будет непрерывной на этом отрезке.
Доказательство.
Интегрируемая
на отрезке функция ограничена на нем,
то есть существует такое число
,
что
на
.
Пусть
,
и пусть
- приращение независимой переменной,
при котором
.
Воспользовавшись свойством аддитивности,
а также теоремами об оценках определенного
интеграла, получим
.
То
есть
,
что означает непрерывность функции
в точке
.
Теорема (о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда функция будет дифференцируемой на этом отрезке.
Доказательство.
,
где
лежит между
и
.
Из непрерывности
следует, что при
будет справедливо
.
Основная формула интегрального исчисления.
Доказанная
выше теорема означает, что для непрерывной
на
функции
интеграл
будет первообразной функцией. Если
какая-либо другая первообразная
,
то
.
Имеем
,
поэтому
.
При
получим
.
Это - формула Ньютона-Лейбница, - основная формула интегрального исчисления.
Мы можем вычислять определенный интеграл, не используя интегральные суммы.
Пример
1.
.
Пример
2. Среднее интегральное значение функции
на отрезке
.
Формула интегрирования по частям.
Теорема.
Если функции
и
непрерывно дифференцируемы на отрезке
,
то справедливо соотношение
.
Доказательство. По правилу дифференцирования производной произведения имеем
.
По условию все функции в этом равенстве непрерывны, а, значит, и интегрируемы на отрезке . Используя линейность интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получаем
.
Пример
3.
.
Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема.
Если
- непрерывно дифференцируемое отображение
отрезка
в отрезок
такое, что
,
то при любой непрерывной на
функции
справедливо равенство
.
Доказательство.
Пусть
- первообразная функции
,
тогда по теореме о дифференцировании
сложной функции, функция
будет первообразной для функции
.
По формуле Ньютона-Лейбница получаем
.
Пример
4.
.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Длина плоской кривой.
Длина кривой, заданной параметрически.
Определение.
Длиной кривой
называется точная верхняя граница
для множества периметров
вписанных в кривую ломаных:
.
Если это число конечно, то кривая
называется спрямляемой.
Рассмотрим параметрически заданную гладкую кривую
(функции
и
непрерывно дифференцируемы на
).
Утверждение. Параметрически заданная на конечном промежутке гладкая кривая спрямляема.
Формула дли вычисления длины дуги гладкой кривой, заданной параметрически:
.
Пример 1. Найти длину одной арки циклоиды
.
Решение:
.
Длина кривой, заданной явно.
Теперь
рассмотрим гладкуя кривую, заданную
явно графиком функции
, непрерывно дифференцируемой на отрезке
:
.
Утверждение. Явно заданная на конечном промежутке гладкая кривая спрямляема.
Формула дли вычисления длины дуги гладкой кривой, заданной явно:
.
Пример
2. Найти длину дуги кривой
от
до
.
Решение:
.
Площадь плоской фигуры.
Пусть
- произвольная фигура на плоскости.
Обозначим через
Многоугольники, целиком содержащиеся
в
,
а через
- многоугольники, содержащие
.
Через
и
обозначим их площади. Имеем
.
Ограниченное сверху множество чисел
имеет точную верхнюю грань
,
а ограниченное снизу
Множество
чисел
точную нижнюю грань
.
Очевидно, что
,
если же эти числа совпадают, то общее
их значение
называют площадью фигуры
,
а саму эту фигуру называют квадрируемой.