44) Дифференциальные уравнения первого порядка: определение, общее решение, теорема единственности, задача Коши. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения…

Уравнение вида

называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Для уравнений вида

с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности.

Пусть в области D плоскости (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная непрерывны. Тогда через каждую точку (x₀; y₀) этой области проходит одна и только одна интегральная кривая.

Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения называется такое соотношение

;

(2)

что: 1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

;

(3)

и получать общее решение в форме

;

(4)

решённой относительно неизвестной функции.

Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x₀ существует единственное решение задачи ((8),(9)). Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки x₀ достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения. 6

45) Дифференциальные уравнения высшего порядка: определение, общее решение, теорема единственности, задача Коши. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения…Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y⁽ⁿ⁾:

 Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

  Определение. Решение удовлетворяет начальным условиям , если

  Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям ,

называется решением задачи Коши.

  Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши).

  Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет

непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка ( ) в этой области, существует

единственное решение  уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку х₀,

удовлетворяющее начальным условиям .

  Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

  Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.