41) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Уравнение
(9.1)
называется линейным дифференциальным
уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами;
- постоянные вещественные числа. Если
функция
)
не равна тождественно нулю, то иногда
говорят, что уравнение
с правой частью.
Уравнение
(9.2)
называется линейным однородным
дифференциальным уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами;
- постоянные вещественные числа. Т. к.
функция
)
равна тождественно нулю, то иногда
говорят, что уравнение
без правой части.
Уравнение 
(9.3)
называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (9.2).
Система
функций
называется
линейно
независимой
в интервале
,
если тождество (
- постоянные числа)
может
выполняться только когда все
.
Если к тому же каждая из функций
является частным решением однородного
уравнения (9.2), то система решений
одно-родного уравнения называется
фундаментальной
системой решений.
Если фундаментальная система решений найдена, то функция
дает
общее решение однородного уравнения
(9.2), ( все
- константы ).
1°. Однородное уравнение. Рассмотрим три случая.
(♠) Все корни характеристического уравнения различны и вещественны.
Фундаментальная система решений имеет вид :
.
Функция
дает общее решение одно-родного уравнения
(9.2) ( все
- константы ).
П.
9.1
.
Записываем
характеристическое уравнение
.
Его
корни
,
;
фундаментальная система решений
;
-
общее решение.
П.
9.2
.
Начальные
данные: при
.
Корни
характеристического уравнения
.
Общее ре-шение
.
Т. к.
,
то для определения костант
имеем
два уравнения:
.
Значит,
- частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным данным.
(♠♠) Все корни характеристического уравнения различны, но среди них есть
комплексные.
Каждому
вещественному корню
по-прежнему соответствует частное
решения
,
а каждой паре комплексных сопряженных
корней
соответствуют два линейно-независимых
частных решения :
.
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образу-ют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют ве-щественным корням, и линейно-независимые частные решения, кото-рые соответствуют каждой паре комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами .
П.
9.3
Находим
корни характеристического уравнения
или
.
Один
корень вещественный и пара
комплексно-сопряженных корней (a=0,
b=3,
т. е. корни чисто мнимые ).
Фундаменталь-ная
система решений :
.
Записываем общее решение
.
П.
9.4
Характеристическое
уравнение:
,
,
( a=3,
b=2
).
Фундаментальная
система решений :
.
Общее
решение
.
П.
9.5
.
Начальные
данные: при
.
Корни
характеристического уравнения
.
Фундаментальная
система решений :
.
Общее
решение
.
Для определения констант находим
.
.
При
.
Т.о. , частное решение, удов-летворяющее
заданным начальным условиям, имеет
следующий вид:
.
(♠♠♠) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.
В этом случае каждому вещественному корню кратности k соответствует k линейно-независимых частных решений вида
,
причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
,
а каждой паре комплексных сопряженных корней кратности k соответствуют 2k линейно-независимых частных решения вида
В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
.
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образу-ют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным простым и кратным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре простых и кратных комплексно-сопряженных корней.
Общее
решение дает линейная комбинация
фундаментальной системы решений с
произвольными постоянными коэффициентами
.
П.
9.6
Корни
характеристического уравнения
кратны,
.
Кратность вещественного корня
.
Фундаментальная система
решений
:
.
Общее решение
.
П.
9.7
Корни
характеристического уравнения
комплексны
и
кратны,
.
Кратность пары комплексно-сопря-женных
корней
,
(a=0,
b=2,
т. е. корни чисто мнимые ). Фундаментальная
систе-ма решений :
.
Общее решение
.
П.
9.8
Характеристическое
уравнение
имеет
двукратный
вещественный корень
и пару комплексно-сопряженных корней
,
. Фундаментальная система решений :
.
Общее решение
.
П.
9.9
Характеристическое
уравнение
имеет
простой
вещественный корень
и двукратную пару комплексно-сопряжен-ных
корней
,
корни чисто мнимые).
Фундаментальная
система решений :
.
Общее
решение
.
2°. Неоднородное уравнение. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
можно
найти по формуле
(формула верна и в том случае, когда
коэффици-енты не являются константами)
, где
- частное решение неоднородного
уравнения, а
-
общее решение однородного уравнения .
Т.о.,
чтобы найти общее решение неоднородного
уравнения , надо найти общее решение
однородного уравнения
и частное решение
неоднородного
.
Стало быть, возникает задача нахождения частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим четыре случая решения задачи методом неопределенных коэффициентов, когда правая часть имеет специальный (стандартный ) вид. Суть метода заключается в том, что частное решение ищут в заранее известном виде с неопределенными коэффициентами, конкрет-ные значения которых находят подстановкой в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях.
(♠)
,
где
- полином от
степени
(который, в частности, может быть
константой, не равной нулю).
Если
число 0 не является корнем характеристического
уравнения, то
следует искать в виде
где
- полином той же степени
с неопределенными коэффициентами.
Если
же число 0 является корнем характеристического
уравнения кратности
,
то
следует искать в виде
еорема. Линейное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение
,
где
k - кратность корня α+βi характеристического
полинома соответствующего однородного
уравнения, R(x) , S(x) - полиномы, подлежащие
определению, степень которых равна
максимальной степени полиномов P(x) ,
Q(x).
