39) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция – однородная нулевого измерения.

Решение.

, ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция – однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно, так как . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции

,

что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение

, (4.1)

где M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех , называется однородным.

Очевидно, что уравнение (4.1) всегда может быть приведено к виду

, (4.2)

хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение (4.1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле , где – новая искомая функция. Выполнив эту замену в уравнении (4.2), получим:

(4.3)

или

,

т.е.

.

Интегрируя последнее равенство, получаем общий интеграл уравнения (4.3) относительно функции

,

который после повторной замены даёт общий интеграл исходного уравнения (4.2). Кроме того, если – корни уравнения , то функции (где ) – решения однородного уравнения (4.2). Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются функции, определяющие на плоскости полупрямые:

.

Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше замены использовать замену .

40) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

• Использование интегрирующего множителя;

• Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x). Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x₀) = y₀, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x₀) = y₀.

   Пример 1

Решить уравнение  y' − y − xe^x = 0.

Решение.

Запишем данное уравнение в стандартной форме:

     

Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель:

     

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением: