1). Определение первообразной функции, пример. Теорема о множестве первообразных. Понятие неопределенного интеграла. Найти интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство

F'(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x)и обозначается символом

Таким образом, по определению,

Если существует первообразная для функции на промежутке , то множество первообразных на называется неопределенным интегралом от и обозначается ..

2) Свойства неопределенного интеграла. Формулировка теорем. Одну из теорем, по выбору, докажите. Непосредственное интегрирование. Примеры. Оцените интеграл.

1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал — подынтегральному выражению.  Действительно

2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого, т. е.

3.Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.

4.Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций, т.е. .

5.интеграл от дифференциальной функции равен самой функции плюс некоторая константа.

6. Линейное преобразование аргумента подынтегральной функции при-

водит к следующему равенству: f(ax + b) dx =1\a F(ax + b) + C,

где F(x) – первообразная для f(x)..

Теорема 1. У всякой непрерывной на промежутке [a, b] функции имеется первообразная.

Доказательство этой теоремы будет дано далее.

Нетрудно видеть, что, если функция F(x) есть первообразная для f(x), то функция F(x) + C при любом постоянном C также является первообразной для f(x). В то же время никаких других первообразных, кроме функций вида F(x) + C, у f(x) уже быть не может. Действительно, если F1(x) есть какая-то первообразная для f(x), то производная разности F1(x) - F(x) будет всюду на [a, b] равняться нулю, а тогда сама разность есть величина постоянная, т. е.

F1(x) - F(x) = C и F1(x) = F(x) + C.

Если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция двух аргументов x и C, равная F(x) + C, называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом Таким образом, неопределенный интеграл какой-нибудь функции представляет собой общий вид первообразных функций для этой функции. Величина C, входящая в определение неопределенного интеграла, называется "произвольной постоянной". Придавая ей то или иное закрепленное значение, можем получить из неопределенного интеграла любую первообразную.

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

3). 3. Метод подстановки и метод интегрирования по частям. Формулировка, доказательство.

Интегрирование с помощью подстановки

Теорема. Пусть F(z) есть на каком-нибудь промежутке [p, q] первообразная функция для функции f(z). Если φ(x) есть дифференцируемая функция, заданная на промежутке [a, b] и удовлетворяющая неравенствамp ≤ φ(x) ≤ q, то сложная функция F[φ(x)] будет первообразной для функции f[φ(x)]φ'(x).

     В самом деле, дифференцируя сложную функцию y = F[φ(x)], мы должны ввести промежуточный аргумент z = φ(x). Тогда y = F(z), z = φ(x) и  . Так как F'(z) = f(z), то  , чем и доказана теорема.

     Доказанную теорему можно формулировать и так: если

то

Отсюда следует

     Первое правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл

записывая его в форме

заменяем здесь φ(x) на z, вычисляем полученный интеграл и в найденном ответе производим обратную замену z на φ(x).

Интегрирование по частям

Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле :d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем или

. (1)

Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла . Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи , и мы покажем на ряде примеров, как это делается4.Интегрирование рациональных функций. Определения рациональной дроби, правильной и неправильной. Формулировка основной теоремы алгебры и теоремы о разложерациональной дроби

4) Для интегрирования рациональной функции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое дробей. Правило интегрирования рациональной дроби. Определения и теоремы пояснить примерами

Для интегрирования рациональной функции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов: Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение; Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений; Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов; Вычислить интегралы от простейших дробей. Рассмотрим указанные шаги более подробно.  Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение: где   - правильная рациональная дробь.  Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.  Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Запишем рациональную функцию в следующем виде: Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).  Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.  Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей. Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул: У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: где   Затем применяются следующие формулы: Интеграл   может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

Пример 1

Вычислить интеграл  .

5.

6. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций , интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух многочленов:

Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.

Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

;

здесь М(х)-многочлен, а - правильная дробь.

Пример. Пусть дана неправильная рациональная дробь

Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим

.

Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

(1).

(2). (k-целое положительное число

(3) (корни знаменателя комплексные, т.е. ).

(4) (k-целое положительное число ;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями (1),(2),(3) и (4) типов.

Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений:

(1)

(2)

(3)

=

Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей (4) типа. Пусть нам дан интеграл такого типа:

(4)

Произведем преобразования:

Первый интеграл берется подстановкой :

Второй интеграл- обозначим его через I_k-запишем в виде

,

полагая

(по предположению корни знаменателя комплексные, а следовательно, ). Далее поступаем следующим образом:

.

Преобразуем интеграл:

Интегрируя по частям ,будем иметь

.

Подставляя это выражение в равенство (1), получим

=

= .

В правой части содержится интеграл того же типа, что , но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже ;таким образом, мы выразили через Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла:

Подставляя затем всюду вместо t и m их значения, получим выражение интеграла (4) через х и заданные числа А, B, p,q.

6. Интегрирование рациональных дробей

Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена M(x) и правильной рациональной дроби . Последнюю же представляем по формуле в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи.

1.Случай.

Корни знаменателя действительны и различны, т. е.

F(x)=(x-a)(x-b)…(x-d).

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1типа:

и тогда

2. Случай.

Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1и 2 типов.

Пример 1.

3. Случай.

Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные):

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1,2 и 3 типов.

Пример 2.Требуется вычислить интеграл

.Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

Следовательно,

.

Полагая х=1, получим 1=2С, С= ½; полагая х=0, получим 0= -B+C, B=1/2.

Приравнивая коэффициенты при , получим 0=А+С, откуда А= - ½. Таким образом ,

4. Случай.

Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:

В этом случае разложение дроби будет содержать и простейшие дроби 4 типа.

Пример 3. Требуется вычислить интеграл

.

Решение. Разлагаем дробь на простейшие:

откуда

Комбинируя указанные выше методы определения коэффициентов, находим А=1, В= - 1, С=0, D=0, Е=1.

Таким образом, получаем

Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

1. через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;

2. через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа

3. через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа

4. через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа.

6) Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Геометрический смысл определённого интеграла (площадь криволинейной трапеции)

S – площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x) , снизу – осью ОХ, слева – вертикальной прямой х = а, справа – вертикальной прямой х = b.

Физический смысл определённого интеграла (работа переменной силы, путь при неравномерном движении точки, масса неоднородного стержня)

1. − сила, параллельная оси 0Х и ориентированная в положительном направлении оси 0Х, действующая на материальную точку при прямолинейном перемещении по промежутку [a, b]. Работа А силы при этом равна: . 2. − скорость неравномерного прямолинейного движения материальной точки. Путь , пройденный точкой за промежуток времени , при этом равен: . 3. − плотность неоднородного прямолинейного стержня с концами в точках . Масса m такого стержня равна: .

7)

Определение определённого интеграла

Функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на промежутке [a, b], если существует . При этом число называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b] и обозначается так:

Продолжение 6 вопрос.

8)смотри 7. § Условия интегрируемости функций (классы интегрируемых функций)

Теорема (необходимое условие)

Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a, b]. Тогда она ограничена на этом промежутке.

Примеры. 1. 2. Функция Дирихле

Теорема (1-е достаточное условие)

Непрерывная на замкнутом промежутке [a, b] функция f(x) интегрируема на этом промежутке.

Следствие	Всякая элементарная функция интегрируема на любом промежутке, целиком лежащем в области определения этой функции (так как она непрерывна на этом промежутке).
Теорема (2-е достаточное условие)	Кусочно непрерывная функция (т. е. имеющая на промежутке [a, b] конечное число точек разрыва I рода) интегрируема на этом промежутке.
Теорема (3-е достаточное условие)	Монотонная ограниченная на промежутке [a, b] функция интегрируема на этом промежутке.

9. Классы интегрируемых функций (формулировки теорем о достаточных условиях интегрируемости функций). Что Вы можете сказать на основании известных Вам теорем о необходимых и достаточных условиях об интегрируемости следующих функций…?

   Необходимое условие интегрируемости функции

   Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.    Доказательство. Предположим обратное. Допустим, что f (x) является неограниченной на отрезке [a, b]. Покажем, что в этом случае интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой за счет выбора точек ξ ₁, ξ ₂,…, ξ _n при любом разбиении отрезка [a, b].    Действительно, так как f (x) не ограничена на [a, b], то при любом разбиении отрезка [a, b] она обладает этим свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, например на [x₀, x₁]. Выберем на остальных частях отрезка точки ξ ₂, ξ ₃,…, ξ _n произвольно и обозначим

Зададим произвольное число М > 0 и возьмем такое ξ ₁ на [x₀, x₁], чтобы

.

Это можно сделать в силу неограниченности функции f (x) на [x₀, x₁]. Тогда

 и  ,

т.е. интегральная сумма σ по абсолютной величине может быть больше любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма σ не имеет конечного предела при λ → 0, а это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует.    Замечание. Обратная теорема неверна, т.е. условие ограниченности функции f (x) необходимое, но не является достаточным условием интегрируемости функции. Поясним это утверждение примером. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0,1]:

Функция Дирихле, очевидно, ограниченна. Однако она не интегрируема на [0,1]. Действительно, если при любом разбиении отрезка [0,1] выбрать рациональные точки ξ _i (x _{i - 1} ≤ ξ _i ≤ x _i ), то получим

,

а если взять ξ _i иррациональным, то получим

.

   Таким образом, при разбиении на сколь угодно малые частичные отрезки интегральная сумма может принимать как значение, равное 0, так и значение, равное 1. Поэтому интегральная сумма σ при λ → 0 предела не имеет.    Для существования определенного интеграла от некоторой функции f (x) последняя, помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими ее интегрируемость. Для установления этих свойств необходимо ввести понятия нижних и верхних сумм.