3. Метод простой итерации.

Если ,то стационарный итерационный метод называется методом простой итерации и в матричном виде имеет вид

. (6)

В координатном виде он запишется в виде

.

Метод простой итерации является явной двухслойной схемой с постоянным параметром . Матрица перехода имеет вид .

4. Метод Якоби.

Запишем систему (1) в виде

. (7)

Если и задано - k-ое приближение к решению системы, то i-я компонента (k+1)-ого приближение вычисляется из i-го уравнения

. (8)

То есть

. . (10)

В выражении (10) слагаемое является i-ой компонентой столбца , где - диагональная матрица. Тогда (10) можно записать в виде

. (11)

Или в матричном виде

. (12)

Хотя формально эта схема неявная ( ), но т.к. D – диагональная матрица, то получаются явные формулы.

5. Метод Зейделя.

Если и задано - k-ое приближение к решению системы, то в итерационном методе Зейделя i-я компонента (k+1)-ого приближение вычисляется из i-го уравнения, но при этом используются уже вычисленные компоненты (k+1)-ого приближения.

Используются два вида формул

, (13)

. (14)

Из формул (13) значения вычисляются последовательно: , а из формул (14) вычисляются в обратном порядке.

Чтобы понять, как вычисляются значения запишем подробнее систему (13)

, (15)

, (16)

……………………………………

. (17)

Первая компонента вектора находится из уравнения (15) явным образом, для ее вычисления нужно знать вектор и значение . При вычислении из уравнения (16) используется только что вычисленное значение и известные значения , с предыдущей итерации. Таким образом, компоненты вектора вычисляются из уравнения (17) последовательно, начиная с i=1.

Запишем метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу А в виде суммы трех матриц

,

где - диагональная матрица с той же главной диагональю, что и матрица А,

- нижняя треугольная (поддиагональная) матрица с нулями на главной диагонали ( ),

- верхняя треугольная (наддиагональная) матрица с нулями на главной диагонали ( ).

Тогда уравнения (13) можно записать в виде

, (18)

или

(19)

Здесь - треугольная матрица и, следовательно, находятся по явным формулам.

6. Метод верхней релаксации.

Обобщением метода Зейделя является метод верхней релаксации, который в матричном виде имеет вид

(20)

где - заданный числовой параметр.

Для получения расчетных формул перепишем (20) в виде

. (21)

В покомпонентной форме получим

.

Отсюда последовательно, начиная с i=1, находим все

, (22)

, (23)

………………………………………………………….

. (24)