42. Седловая точка. Решение игры в чистых стратегиях.

Если , то говорят, что игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры . Пару чистых стратегий , соответствующих и , называют седловой точкой матричной игры; - седловым элементом платежной матрицы. Стратегии и , образующие седловую точку, являются оптимальными. Тройка называется решением игры.

42. Смешанные стратегии. Цена игры.

Игра двух лиц с нулевой суммой далеко не всегда имеет седловую точку. Для игр без седловой точки оптимальные стратегии игроков находятся в области смешанных стратегий.

Рассмотрим антагонистическую парную игру с нулевой суммой. Пусть игра не имеет седловой точки.

Смешанной стратегией игрока А называется вектор координаты которого удовлетворяют условиям: вероятности, с которыми игрок А выбирает свои чистые стратегии .

Смешанной стратегией игрока В называется вектор координаты которого удовлетворяют условиям: вероятности, с которыми игрок В выбирает свои чистые стратегии .

При использовании смешанных стратегий игра приобретает случайный характер, случайной становится и величина выигрыша игрока А (проигрыша игрока В).

Эта величина является функцией смешанных стратегий и определяется по формуле: .

Функцию называют функцией выигрыша или платёжной функцией.

Смешанные стратегии называют оптимальными, если они образуют седловую точку для платёжной функции , т.е. Величину называют ценой игры.

42. Решение матричной игры сведением к задаче линейного программирования.

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как игра.

Из основного положения теории стратегических игр следует, что при использовании смешанных стратегий существует, по меньшей мере, одно оптимальное решение с ценой игры , причем , т.е. цена игры находится между верхним и нижним значением игры. Величина неизвестна, но всегда можно предположить, что . Это условие выполняется, поскольку всегда можно путем соответствующего преобразования матрицы сделать все её элементы положительными. Таким образом, если в исходной платежной матрице имеется хотя бы один неположительный элемент, то первым шагом в процедуре сведения игры к задаче линейного программирования должно быть ее преобразование к матрице, все элементы которой строго положительны. Для этого достаточно увеличить все элементы исходной матрицы на одно и то же число . При таком преобразовании матрицы оптимальные стратегии игроков не изменяются.

Допустим, что смешанная стратегия игрока А складывается из стратегий с вероятностями, соответственно . Оптимальная смешанная стратегия игрока В складывается из стратегий с вероятностями

Условия игры определяются платежной матрицей:

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

Если игрок А применяет оптимальную смешанную стратегию, а игрок В – чистую стратегию , то средний выигрыш игрока А (математическое ожидание выигрыша) составит .

Игрок А стремится к тому, чтобы при любой стратегии игрока В его выигрыш был не менее, чем цена игры , и сама цена игра была максимальной. Такое поведение игрока А описывается следующей моделью линейного программирования:

или, обозначив, , задачу можно переписать в следующем виде:

В результате решения поставленной задачи, находим оптимальный вектор и , а затем, находим цену игры и координаты вектора .

Поведению игрока В соответствует двойственная задача:

Решив эту задачу, получим оптимальный вектор и , а затем – цену игры и координаты вектора

Таким образом, оптимальные смешанные стратегии игроков А и В и могут быть найдены в результате решения пары двойственных задач линейного программирования.

Если исходная матрица увеличивалась на d, то для получения цены первоначальной игры значение v нужно уменьшить на d.

Если смешанная стратегия такова, что одно из значений , а следовательно все остальные равны нулю, то такая стратегия называется чистой стратегией игрока. Чистая стратегия уже не является случайной.