2.(1) Пружинный маятник. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:    При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила   (1)  С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как    Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение   (2)  При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение   (3)  Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как    Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению   (4)  Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.  Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению   (5)  причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x₀ если механические колебания равно F₀/m, в случае электромагнитных колебаний - U_m/L).  Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х₀e^iωt :   (6)  Частное решение данного уравнения будем искать в виде    Подставляя выражение для s и его производных (   и   ) в выражение (6), найдем   (7)  Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на (ω₀² - ω² - 2iδω)    Это комплексное число представим в экспоненциальной форме:    где   (8)   (9)  Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид   

2.(2) Пружинный маятник. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна   (10)  где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9).  Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно   (11)  Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения   (12)  и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω

Рис.1 Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω₀² = 1/(LC) и δ = R/(2L) :   (13)    Продифференцировав Q=Q_mcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях:   (14)  где   (15)  Уравнение (14) может быть записано как    где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13)   (16)  Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС).  Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для переменных токов.