Лекция №16 квантовые свойства атома

Квантовые числа и их физический смысл. Опыт Штерна и Герлаха. Гипотеза о спине электрона. Атом в магнитном поле.

Квантовые числа и их физический смысл

      Как следует из решения уравнения Шредингера для атома водорода, квантовое состояние электрона в этом атоме (можно сказать и квантовое состояние атома) полностью определяется заданием трех квантовых чисел. "Задайте значения квантовых чисел, и я полностью опишу свойства атома" - так может современный физик перефразировать известное изречение Архимеда.

      Каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения и определяет, то есть предсказывает результаты измерения основных физических величин в заданном квантовом состоянии атома.

      1. Главное квантовое число . Это квантовое число принимает значения

     и определяет полную энергию электрона в любом квантовом состоянии

.

(16.1)

     В связанном состоянии электрон в атоме водорода имеет дискретный энергетический спектр, лежащий в области отрицательных значений и имеющий точку сгущения .

      2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число . В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа азимутальное квантовое число может иметь следующие значения:

.

      Из выводов предыдущего параграфа следует, что стационарные волновые функции , описывающие различные квантовые состояния атома, являются собственными функциями не только оператора полной энергии , но и оператора квадрата момента импульса , причем

.

      Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением квадрата момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом:

.

(16.2)

      Проанализируем эту формулу квантования момента импульса. Сравнивая ее с условием квантования момента импульса движущегося электрона в теории Бора, можно заметить, что эти условия не совпадают. И дело не только в отличии числовых значений, рассчитанных по этим формулам. Принципиальное отличие этих соотношений состоит в том, что в квантовой механике возможны состояния атома с нулевым моментом импульса. Во всех -состояниях и, частности, в основном -состоянии, когда , по формуле (16.2) получаем .

      При классическом описании движения электрона в атоме по определенной траектории (орбите) в любом состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса.

      Опыт подтверждает существование квантовых состояний атома с нулевыми орбитальными моментами. Следовательно, опыт подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и предсказать свойства атома. Вероятностный способ описания движения частиц в квантовой механике является единственно правильным способом описания свойств атомных систем - таков вывод современной физики.

      Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обуславливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом .

      В теории Бора, когда с позиции классической теории рассматривается круговое движение электрона по орбите радиуса со скоростью , величина орбитального механического момента равна . Если время полного оборота электрона , то такому движению соответствует замкнутый ток

     

,

     который можно охарактеризовать величиной магнитного момента

     

.

     Связь механического и магнитного моментов при этом определяется гиромагнитным отношением

.

(16.3)

     Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента противоположно направлению вектора механического момента импульса (рис. 16.1).

      Для расчета орбитального магнитного момента в квантовой теории следует определить пространственную плотность электрического тока через плотность потока вероятностей по формуле: . Плотность потока вероятности при этом можно найти, зная волновую функцию электрона в заданном квантовом состоянии атома. Точный квантовомеханический расчет гиромагнитного отношения также приводит к формуле (16.3).

Рис. 16.1.

      Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не только механическим моментом , величина которого определяется формулой (16.2), но и магнитным моментом.

.

(16.4)

      Здесь универсальная постоянная

     служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетоном Бора.

      Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое число изменяется на единицу. Это правило, согласно которому для оптических переходов , называется правилом отбора. Наличие такого правила отбора обусловлено тем, что электромагнитное излучение (фотон) уносит или вносит не только квант энергии, но и вполне определенный момент импульса, изменяющий орбитальное квантовое число для электрона всегда на единицу.

      3. Магнитное квантовое число . В квантовом состоянии с заданным значением орбитального квантового числа , магнитное квантовое число может принимать различных значений из ряда

.

      Физический смысл магнитного квантового числа вытекает из того, что волновая функция , описывающая квантовое состояние электрона в атоме водорода, является собственной функцией оператора проекции момента импульса , причем

.

      Поэтому, из общих положений квантовой механики следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление может иметь только определенные значения, равные

.

(16.5)

      Направление в пространстве обычно выделяется внешним полем (например, магнитным или электрическим), в котором находится атом.

      Так как формула (16.5) квантования проекции механического момента соответствует вполне определенным направлениям ориентации в пространстве вектора (рис. 16.2), то эту формулу называют обычно формулой пространственного квантования.

      С точки зрения классического представления об электронной орбите, с учетом перпендикулярности вектора к плоскости орбиты, соотношение (16.5) определяет возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля.

Рис. 16.2.

      Отмеченная выше связь механического и магнитного моментов атома позволяет с учетом (16.5) записать также возможные значения проекции магнитного момента атома на выделенное направление :

,

(16.6)

     зависящие от значения магнитного квантового числа