8. Преобразования лоренца

В 1904 году Лоренц предложил формулы для преобразования координат, которые обеспечивают инвариантность уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

где с – скорость света в вакууме.

Формулы были названы Пуанкаре преобразованиями Лоренца.

Инвариантным относительно преобразований Лоренца является так называемый пространственно-временной интервал, или просто интервал. Пусть события произошли в точке х1, у1, z1 в момент времени t1 и в точке х2, у2, z2 в момент времени t2. Интервалом между событиями, или, как говорят, интервалом между точками х1, у1, z1, t1 и х2, у2, z2, t2, называется величина s, квадрат которой определяется формулой

S2 = С2 (t2 – t1)2 – (Х2 – Х1)2 – (У2 – У1)2 – (Z2 – Z1)2. (1)

В подвижной системе отсчета квадрат интервала S записывается в виде

Подставляя формулу (1) в (2), убедимся, что s2 = s'2 = inv. Впервые понятие интервала ввел Пуанкаре, и он же показал, что интервал является инвариантом при преобразованиях Лоренца.

Из преобразований Лоренца следует сокращение длины движущегося стержня, а именно

где l = x 2 – x1 и l ' = x'2 – x1, и замедление хода движущихся часов, а именно

, где Δt = t2– t1 и  Δt' = = t'2-t' 1.

9. Специальная теория относительности

В основе специальной теории относительности, созданной Лоренцем, Пуанкаре и Эйнштейном и представляющей собой фактически физическую теорию пространства и времени, лежат два постулата: принцип относительности; принцип постоянства скорости света.

Принцип относительности утверждает, что все тождественные физические явления в любых инерциальных системах отсчета при одинаковых начальных и граничных условиях протекают одинаково. Другими словами, все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой, т. е. уравнения, выражающие законы природы, имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Несмотря на то что приведенная формулировка принципа относительности отличается от той, что дал Пуанкаре, в физическом смысле обе формулировки тождественны. Этот постулат распространяет принцип относительности Галилея на все физические явления природы. Это означает, что все инерциальные системы отсчета равноправны и никакие опыты (механические, электромагнитные и т. п.), проведенные в данной инерциальной системе отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно.

Принцип постоянства скорости света гласит, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света. Специальная теория относительности объединила пространство и время в единый континуум «пространство-время», (см. преобразования Лоренца) причем она, как и классическая ньютоновская механика, предполагает, что время однородно, а пространство однородно и изотропно.

10. Общая теория относительности эйнштейна

Дальнейшее развитие представлений о пространстве и времени было сделано Эйнштейном в 1915 году в общей теории относительности, называемой иногда теорией тяготения. В ней Эйнштейн расширил принцип относительности, распространив его на неинерциальные системы отсчета, и использовал принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс (отношение инертной массы к гравитационной одинаково для всех тел), который непосредственно следует из установленного еще Галилеем факта одинаковости ускорения различных тел при их свободном падении.

Используя законы классической механики, покажем, что отношение инертной m ин и гравитационной m гр масс одинаково для всех тел. Предположим, что вниз одновременно начинают падать два разных тела. На каждое из тел действует сила тяжести. На первое тело действует сила тяжести, равная F 1 = m гр1g , а на второе – F 2 = m гр2g , где g – ускорение свободного падения. Согласно второму закону Ньютона, под действием этих сил тела будут двигаться с ускорениями соответственно a 1 и a 2, причем в качестве коэффициентов пропорциональностей между силами и ускорениями будут выступать их инертные массы m ин1 и m ин2: F 1 = m ин1a 1 и F 2 = m ин2a 2. Из этих рассуждений непосредственно следует, что m гр1g = m ин1a 1 и m гр2g = m ин2a 2. Галилей экспериментально показал, что все тела при отсутствии сопротивления падают с одинаковым ускорением, т.е. отношение ускорений равно единице, или a 1/a 2 = (m гр1/m ин1)(m ин2 /m гр2) = 1.

Это возможно только при пропорциональности инертной и гравитационной масс. Последние эксперименты подтверждают равенство mин = mгр с высокой точностью (относительная ошибка измерений не превышает 10-11).

Общая теория относительности объяснила сущность тяготения, состоящую в изменении геометрических свойств, искривлении четырехмерного пространства-времени вокруг тел, которые образуют поле тяготения. В рамках общей теории относительности Эйнштейну удалось получить уравнение, описывающее поле тяготения.

Для проверки своей теории Эйнштейн предложил три эффекта:

• искривление светового луча в поле тяготения Солнца;

• смещение перигелия Меркурия;

• гравитационное красное смещение.

Эти эффекты, как показали последующие эксперименты, действительно существуют и количественно правильно предсказывались ОТО (с приемлемой на тот исторический момент времени погрешностью).