9. Приложения кратных интегралов

9.1. Геометрические приложения кратных интегралов

I. Некоторые приложения кратных интегралов вытекают из свойств интеграла по мере области. Напомним 4-е свойство:

если f (P) 1, то , .

Конкретизируем это важное свойство:

• – длина отрезка ;

• – длина линии L;

• – площадь области D;

• – площадь поверхности Q;

• – объём тела Т.

Используя это свойство и его конкретизацию, получим формулы для вычисления таких геометрических характеристик, как объём, площадь поверхности и плоской области, длина дуги кривой.

Рассмотрим формулу для вычисления объёма тела Т

.

Пусть тело Т является правильной областью в пространстве R³, которое ограничено «снизу» поверхностью , а «сверху» − (рис. 9.1). Найдем объём тела Т:

.

Рис. 9.1

Таким образом, формула

(9.1)

применяется для вычисления объёма с помощью двойного интеграла, когда область ограничена поверхностями и и проектируется в правильную область D на плоскости х0у.

Если в формуле (9.1) положить , а , то получим формулу

, (9.2)

которая объясняет геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от функции f(x,y) по области D выражает объём цилиндрического тела, ограниченного «сверху» поверхностью , «снизу» областью D и боковой цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 0z, а направляющая является границей области D.

Если в формуле (9.2) положить , то получим интеграл, выражающий объём цилиндра с высотой, равной 1, и основанием D. Численно этот объём равен площади основания. Итак,

. (9.3)

Очевидно, такой же результат получим, если рассмотрим третий случай свойства 4:

.

Таким образом, формула для вычисления площади плоской фигуры D имеет вид (9.3).

Произведём интегрирование в (9.3) по области D, представленной на рис. 9.2:

. (9.4)

Э то выражение можно рассматривать как формулу для вычисления площади плоской фигуры D, ограниченной соответствующими линиями.

Если в (9.4) положить , а , то получим формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f (x), вертикальными прямыми х = а и х = b.

Замечание. При переходе к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам получим формулы для вычисления объемов и площадей в данных координатах.

9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения

9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением

Пусть в некотором теле известны сечения плоскостями, перпендикулярными оси Oх (рис. 9.10). Эти сечения называют поперечными. Положение поперечного сечения определяется точкой х. С изменением х площадь сечения меняется, т. е. представляет собой функцию S(x). Будем считать её известной. На этом сечении построим цилиндр высотой dx. Его объём

.

Тогда объём всего тела определяется формулой

. (9.6)

Рис. 9.10

9.2.2. Объём тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f(x) и прямыми y = 0, x = a, x = b, вращается вокруг оси Ox, то в поперечном сечении получается круг радиуса f(x) (рис. 9.11). Тогда площадь круга будет находиться по формуле . Подставляя ее в (9.6), получим формулу объёма тела вращения

.

Рис. 9.11