Вопрос 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Будем говорить , что ф-ция y=f(x) УДВОЛЕТВОРЯЕТ В ТОЧКЕ а УСЛОИЮ КОШИ , если для любого положительного числа ε найдется отвечающая ему положительное число δ такое , что для любых двух значений аргумента х’ и x” удволетв условиям

0<| x’-a |<δ 0<| x’’ - a | <δ

Cправедливо нер-во

| f(x’) – f(x’’) |<ε

КРИТЕРИЙ СУЩ-Я ПРЕДЕЛА ПО КОШИ

Для того чтобы ф-я y=f(x) имела в точке а конечный предел , необходимо и достаточно чтобы ф-я y=f(x) удвол в точке а условию коши

Вопрос7

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД Ф-МИ , ИМЕЮЩИМИ ПРЕДЕЛ

Пусть заданы на одном и том же множ-ве {x} и имеют в точке а пределы , соотв равные b и c . Тогда ф-ия f(x) + g(x) , f(x) - g(x) , f(x) * g(x) , f(x)\ g(x) имеют в точке а пределы b + c , b – c , b * c , b \ c (в частном b не равно 0 и g(x) не равно 0)

Ф-я α(х) называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ в точке а , если предел в точке сущ-ет и он равен 0

Пример : α(х)=( х-а )ⁿ где n – любое целое полож. Число

Ф-я α(х) называется БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ в точке а справа ( соотв слева ) ф-ей , если для любой сходящейся к а пос-ти {Xn} значений аргумента , все эл-ты которой больше а (соотв меньше а) соответ пос-ть значений ф-ии {A(Xn)} является бесконечно большой пос-тью , все эл-ты которой начинаются с некоторого номера либо полож , либо отриц.

вопррос 8

ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ Ф-ИИ В ТОЧКЕ а

Ф-я f(x) называется непрерывной в точке а , если эта ф-я имеет в точке а предел и этот предел равен ее частному значению f(a) в этой точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПО ГЕЙНЕ

Ф-я f(x) называется непрерывной в точке а , если для любой , сходящийся к пределу а пос-ти {Xn} значений ее аргумента сооответ послед-ть значений ф-ии {f(Xn)} сходится к пределу f(a)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПО КОШ

Ф-я f(x) называется непрерывной в точке а , если для любого полож числа ε найдется отвечающее ему полож число δ , обеспеч справедливость нер-ва | f(x) – f(a) |<ε для всех значений аргумента х , удв условию нер-ва | x-a | < δ

ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ Ф-ИИ В ТОЧКЕ α СПРАВА ( СООТВ СЛЕВА ) – ф-я f(x) наз непрерывной в точке справа ( соотв слева ) если эта ф-я имеет в точке а правый (соотв левый ) предел равен ее частному значению f(a) в той точке

ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ Ф-ИИ В ТОЧКЕ α СПРАВА ( СООТВ СЛЕВА ) ПО ГЕЙНЕ: Ф-я f(x) ф-я f(x) наз непрерывной в точке справа ( соотв слева ) если для любой , сходящейся к пределу а пос-ти {Xn}значения ее аргумента удовлетворяющих условию Xn>a ( соотв-но условию Xn<a ) соотв пос-ть значений ф-ии {f(x)} сходится к пределу f(a)

ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ Ф-ИИ В ТОЧКЕ α СПРАВА ( СООТВ СЛЕВА ) ПО KOШИ Ф-я f(x) ф-я f(x) наз непрерывной в точке справа ( соотв слева ) если для любого положительного числа ε найдется отвечающее ему положительное число δ обеспечивающее справедливость нер-ва | f(x) – f(a)| < ε , для всех значений аргумента х , удовлетворяющих условию a<x<a+δ ( соотв a- δ <x<a )

вопос 9

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Ф-я f(x) называется ОГРАНИЧЕННОЙ СВЕРХУ ( СООТВ СНИЗУ ) на множестве {x} если существует вещественное число М ( соответ m ) обеспечивающее справедливость нер-ва f(x)≤M (соотв f(x)≥m ) , для всех значений аргумента х из множества {x}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2

Ф-я f(x) называется ОГРАНИЧЕННОЙ С ОБЕИХ СТОРОН на множестве {x} , если она ограничена на этом мн-ве сверху и снизу , т.е. если найдутся вещественные числа m и M , обеспечивающие справедливость нер-в m ≤f(x)≤M для всех значений аргумента х из множества {x}

ТЕОРЕМА 1 : ( о локальной ограниченности ф-ии непрерывной в данной точке )

Если ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки а и непрерывна в точке а , то найдется такое положительное число δ , что эта ф-я ограничена в δ-окрестности а-δ<х <а+δ точки а

ТЕОРЕМА 2 ( о непрерывности знака в данной точке ф-ии )

Если ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки а и непрерывна в точке а и ее значение f(a) в этой точке положительно ( соотв отрицательно ) , то найдется такое положительное число δ , что ф-я f(x) положительна ( либо отриц ) во всей

δ-окрестности а-δ<х <а+δ точки а

ТЕОРЕМА 3 ( об арифметических операциях наж непрерывными в данной точке ф-ями ) Если две ф-ии f(x) g(x) определены в некоторой окрестности точки а , то каждая из ф-ий

[f(x)+g(x)] [f(x)-g(x)] [f(x)*g(x)] [f(x)\g(x)]

Непрерывны в точке п ( при g(a) не равно 0 )