35)Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Интегрируемость монотонных, непрерывных и кусочно-непрерывных функций.

Теорема 1. Для того чтобы для функции ƒ(х) из некоторого класса существовал определенный интеграл по сегменту [a,b], необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε>0 существовало отвечающее ему число δ(ε)>0, обеспечивающее справедливость неравенства S – s <ε для верхней суммы S и нижней суммы s любого разбиения сегмента [a,b], у которого наибольшая длина d частичных сегментов удовлетворяет условию d< δ(ε).

Доказательство: 1)Необходимость:

2)Достаточность.

Замечание 1 к теореме 1. Непосредственно из теоремы 1 вытекает, что если значения интегрируемой на сегменте [a,b] функции ƒ(х) изменить в конечном числе p точек х⁰_1,х⁰₂,…,х⁰_p этого сегмента, положив их равными каким угодно числам ƒ(х⁰₁),ƒ(х⁰₂),...,ƒ(х⁰_p), то функция ƒ(х) останется интегрируемой на сегменте [a,b] и значение интеграла от нее не изменится.

При замене в сумме S-s==∑ⁿ_k=1(M_k – m_k) ∆х _k изменяется только слагаемые (M_k – m_k) ∆х _k по не более чем p частичным сегментам, содержащим точки х⁰_1,х⁰₂,…,х⁰_p, а сумма всех этих слагаемых не превосходит числа (M-m)d·p и для любого числа ε>0 может быть сделана меньше числа ε/2 выбором достаточно малого δ(ε).

Замечание 2 к теореме: 1)Более глубокий анализ, который мы опускаем, позволяет утверждать, что необходимым и достаточным условием интегрируемости функции ƒ(х) на сегменте [a,b]

Является требование справедливости для любого ε>0 неравенства S – s <ε хотя бы для одного разбиения сегмента [a,b].

Интегрируемость непрерывных функций:

Теорема 2. Если функция ƒ(х) непрерывна на сегменте [a,b], то она интегрируема на этом сегменте.

Доказательство.

Так как функция ƒ(х) непрерывна на сегменте [a,b], то по теореме Кантора она и равномерно непрерывна на этом сегменте. Для любого числа ε>0 найдется отвечающее ему число δ(ε)>0 такое, что колебание функции ƒ(х) на любом содержащемся в [a,b] сегменте длины, меньшей δ(ε), будет меньше числа ε/(b-a). Рассмотрим произвольное разбиение a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b сегмента [a,b], у которого наибольшая длина d частичного сегмента меньше указанного числа δ(ε). Тогда для любого k=1,2,…,n колебание M_k – m_k функции на частичном сегменте [х_k-1, х _k] удовлетворяет условию M_k – m_k <ε/(b-a).

C помощью этого неравенства оценим для указанного разбиения разность S-s:

S-s=∑ⁿ_k=1M_k ∆х _k- ∑ⁿ_k=1m_k∆х _k= ∑ⁿ_k=1(M_k – m_k) ∆х _k<ε/(b-a) · ∑ⁿ_k=1∆х _k=ε

Интегрируемость монотонных функций.

Теорема 3. Если функция ƒ(х) определена и не убывает или не возрастает на сегменте [a,b], то она интегрируема на этом сегменте.

Доказательство.

Если функция ƒ(х) не убывает на сегменте [a,b], то по на любом частичном сегменте [х_k-1, х _k] разбиения a= х₀<х₁<х₂<…<х_n-1< х_n=b точная нижняя грань m_k будет достигаться на левом конце х_k-1

Этого сегмента, а точная верхняя грань M_k - на правом его конце х _k.

Поэтому будут справедливы отношения

ƒ(а)=m₁≤M₁=m₂≤M₂=m₃≤M₃=m₄≤M₄=ƒ(b), из которых вытекает равенство: ∑ⁿ_k=1(M_k – m_k)=ƒ(b) – ƒ(a).

Если ƒ(b) <ƒ(a), то для любого числа ε>0 и произвольного разбиения сегмента [a,b], у которого наибольшая длина d частичных сегментов меньше числа ε/( ƒ(b) – ƒ(a)), в силу ∑ⁿ_k=1(M_k – m_k)=ƒ(b) – ƒ(a) будет справедливо неравенство S-s=∑ⁿ_k=1(M_k – m_k) ∆х _k<ε/( ƒ(b) – ƒ(a))· ∑ⁿ_k=1(M_k – m_k)=ε.

Интегрируемость кусочно-непрерывных функций.

Функция ƒ(х) называется кусочно-непрерывной на сегменте [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках сегмента [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках сегмента [a,b], за исключением, быть может, конечного числа точек х⁰_1,х⁰₂,…,х⁰_p, в каждой из которых она имеет конечное значение ƒ(х⁰_k) и конечные левый и правый пределы ƒ(х^k₀ – 0) и ƒ(х^k₀ + 0), и если, кроме того, существующий конечный правый предел ƒ(а+0) и конечный левый предел ƒ(b-0).

Любая кусочно-непрерывная на сегменте [a,b] функция ƒ(х) интегрируема на этом сегменте.