1. а) Числовая последовательность .

Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1 , 2 , … , n , … ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число Xn , то множество занумерованных чисел

Х1 , х2 , …. , Хn , ….

мы и будем называть ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ или просто ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ

б) Сумма , разность , произведение и частное двух последовательностей .

Назовем пос-ть х1 + у1 , х2 + у2 , …. Хn + Yn , … суммой последовательностей х1 , х2 …. Хn , …. и у1 , у2 …. Yn ….

Х1 – у1 , х2 – у2 , … Хn – Yn , …. – разностью тех же последовательностей

Х1 * у1 , х2 * у2 , … Хn * Yn , …. – суммой тех же последовательностей

Х1 \ у1 , х2 \ у2 , … Хn \ Yn , …. – частным тех же последовательностей ( конечно при определении частного пос-тей необходимо требовать , чтобы все элементы последовательности у1 , у2 …. Yn …. Были отличны от нуля . Однако весьма часто возникает ситуация , когда у пос-ти {Yn} может обращаться в нуль только конечное число первых эл-тов и мы можем рассматривать частное { Xn \ Yn } , с того номера , начиная с которого все эт-ны {Yn} отличны от нуля )

в) Огранмченые , неограниченные , бесконечно малые и бесконечно большие последовательности .

Последовательность {Xn} называется ОГРАНИЧЕННОЙ СВЕРХУ ( и соответственно ОГРАНИЧЕННОЙ СНИЗУ ) , если существует вещественное число M ( и соответственно m ) , обеспечивающее справедливость всех эл-тов Xn , нер-ва

Xn ≤ M ( и соотв-но Xn ≥ m )

При этом число M ( соотв-но m ) назывется верхней гранью ( соот. Нижней гранью ) этой последовательности , а Ур-е Xn ≤ M ( и соотв-но Xn ≥ m ) называется условием ограниченности этой пос-ти сверху ( соотв. снизу )

Последовательность {Xn} называется ОГРАНИЧЕННОЙ С ДВУХ СТОРОН или просто ОГРАНИЧЕННОЙ если она ограничена и сверху и снизу т.е. существуют вещественные числа M и n , обеспечивающее справедливость всех эл-тов Xn , нер-ва

m≤Xn ≤ M

стоящие в нер-вах числа M и n называются соотв-но нижней и верхней гранями пос-ти {Xn} , а нер-во m≤Xn ≤ M – условием ее ограниченности .

другое определение пос-ти :

Последовательность {Xn} называется ОГРАНИЧЕННОЙ , если сущ. Положительное вещественное число А , обеспечивающее справедливость всех эл-тов Xn , нер-ва

|Xn| ≤ A

Последовательность {Xn} называется НЕОГРАНИЧЕННОЙ если для любого полож вещественного числа А , найдется хотя бы 1 эл-т Хn , удовол нер-ву

|Xn| >A

C точки зрения этого опред каждая пос-ть , ограниченная только сверху или только снизу является неограниченной.

Последовательность {Xn} называется БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ , если для любого полож вещественного числа А , найдется номер N обеспечивающее справедливость, нер-ва

|Xn| >A

Для всех эл-тов Xn c номерами n , удоволетвр ксловию n≥N

Все бесконечно большие пос-ти являются неограниченными

Последовательность {Xn} называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ , если для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N обеспечивающее справедливость, нер-ва

| αn | < ε

Для всех этементов αn с номерами n , удвол условию n≥N

Основные свойства бесконечно малых последовательностей

Теорема 1 : Сумма { αη + βη } и разность {αη - βη}двух бесконечно малых последовательностей {αη} и {βη} являются бесконечно малыми последовательностями .

Следствие из теоремы 1 : Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 2 : Произведение { Xη * αη } ограниченной последовательности {Xη} на бесконечно малую последовательность {αη} является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3 : Всякая бесконечно малая последовательность {αη} является ограниченной .

Следствие из теоремы 2 и 3 : Произведение двух ( а потому и любого конечного числа ) бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 4 : Если {yη} – бесконечно большая последовательность , то начиная с некоторого номера n определено от частного { 1/ yη }последовательностей 1 , 1 , 1 …. И y1 , y2 , y3 … , которое является бесконечно малой последоаптнльностью.

2. Последовательность {Xη} называется СХОДЯЩЕЙСЯ , если существует такое вещественное число а , что последовательность { Xη - αη } является бесконечно малой. При этом вещественное число а называется ПРЕДЕЛОМ последовательности {Xη}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом а=0

Последовательность {Xη} называется СХОДЯЩЕЙСЯ , если существует такое вещественное число а , что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N , обеспечивающий справедливость нер-ва :

| Xη - a | < ε

Для всех эл-тов Xη с номером n удовлетворяющим условию n≥N при этом число а называется ПРЕДЕЛОМ пос-ти {Xη} .

Последовательность {Xη} называется СХОДЯЩЕЙСЯ , если существует такое вещественное число а , что в любой ε-окрестности точки а лежат все эл-ты этой пос-ти Xη начиная с некоторого номера ( зависящего , конечно от ε )

Если пос-ть {Xη} сходится и имеет своим пределом число а , то для ее эл-тов Xη справедливо следующее СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ : Xη=а +αη , в котором αη – эл-т некоторой бесконечно малой пос-ти

ЗАМЕЧАНИЕ 1 : Из определения сходящейся пос-ти и ее предела вытекает , что удаление любого конечного числа эл-тов этой пос-ти не влияет и величину ее предела .

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Пос-ть не являющиеся сходящимися наз РАСХОДЯЩИМИСЯ

ТЕОРЕМА 5 : Сходящаяся пос-ть имеет только 1 предел

ТЕОРЕМА 6: Всякая сходящаяся пос-ть ограничена

ТЕОРЕМА 7 ( об арифметических операциях над сходящимися пос-тями ) : Сумма {Xη+Yη} , разность {Xη-Yη} , пр-е {Xη*Yη} , частное {Xη\Yη} двух сходящихся пос-тей {Xη } и {Yη} с пределами а и b соответсвенно являются сходящимися последовательностями , имеющие своими пределами а + b , а - b , а * b и а \ b соответсвенно ( в случае частного надо отметить что предел b должен быть отличным от нуля и рассматривать его с номера , с которого все Yη отличны от нуля )

ТЕОРЕМА 8 ( о предельном переходе под знаком нер-ва ) : Если пос-ть {Xη }сходится к некоторому пределу х и если все эл-ты Xη , по крайней мере начиная с некоторого номера Nо ( это тип нуль , а не о) , Хη≥а , ( соответсвенно Хη≤b ) , то и предел х удоволетворяет неравенству Х≥а , ( соответсвенно Х≤b )

СЛЕДСТВИЕ 1 : если все эл-ты сход пос-ти {Xη} лежат на сегменте [a , b] то предел и х этой пос-ти лежит на сегменте [a , b]

СЛЕДСТВИЕ 2: если все эл-ты 2ух сходящихся пос-тей { Xη } и {Yη} , по крайней мере начиная с некоторого номера , удовол нер-ву Xη≤Yη , то и пределы х и у этих пос-тей удоволер нер-ву X≤Y

ТЕОРЕМА 10: если { Xη } и {Yη} – две сходящиеся по-ти , имеющие общий предел а , и если эл-ты третьей пос-ти {Zη}, покрайней мере начиная с некоторого номера No , удовол нер-вам Xη≤ z ≤Yη то и пос-ть {Zη}сходится к пределу а

Вопрос 3 :

Пос-ть {Хη}, наз НЕУБЫВАЮЩЕЙ (сооотв невозраст ) , если каждый э-т начиная со второго не меньше ( соотв не больше ) предыдущего эл-та т.е. для всех номеров и справедливо нер-во Хη≤Хη+1 ( имеется в виду η+1 ) соотв Хη≥Хη+1

Пос-ть {Хη}наз МОНОТОННОЙ , если она является либо неубывающей либо возрастающей

Если эл-ты неубывающей ( соотв невозраст ) пос-ти {Хη}для всех номеров η удволнтв строгому нер-ву Хη<Хη+1 ( соотв Хη>Хη+1 ) , то эта пос-ть наз ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ( УБЫВАЮЩЕЙ_)

Монотонная пос-ть всегда ограничена с одной стороны

ТЕОРЕМА 10 : если пос-ть {Хη} не убывает ( не возрастает ) и ограничена сверху ( снизу ) то она сходится к пределу х , являющемуся точной верхней ( нижней ) гранью, множества всех ее эл-тов Хη

Все эл-ты Хη неубыв пос-ти и ограниченной сверху меньне или равны пределу х , невозраст и огранич с низу соотв больше или равны предела х

ПОДПОС-ТИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ

Рассмотрим произв пос-ть х1,х2,х3 … Xn , … и произвольную возраст пос-ть целых полож чисел , k1 , k2 , k3 … Kn , … выберем из пос-ти {Хη} эл-ты с номерами k1 , k2 , k3 … и расположим их в порядке возрастания указанных номеров . Мы получим при этом новую по-ть Хk1 , Xk2 , … Xkn …, которую и принято называть ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ

ТЕОРЕМА 11 : если подпоследовательность сводится к пределу а , то любая ее по-ть сводится к тому же приделу

Точа х бесконечной прямой (-оо , + оо ) наз ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКОЙ пос-ти {Хη} , если в любой ε-окрестности точки х лежит бесконечно много эл-тов этой пос-ти

Точа х бесконечной прямой (-оо , + оо ) наз ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКОЙ пос-ти {Хη} , еслииз этой пос-ти можно выделить пос-ть сходящуюся к пределу х

ТЕОРЕМА 12 : Всякая сходящаяся пос-ть имеет только 1 предельную точку , совпадающую с ее пределом

ТЕОРЕМА 13 ( ТЕОРЕМА БАЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА ) – ЛЮБАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ПОС-ТЬ ИМЕЕТ ХОТЯ БЫ ОДНУ ПРЕДЕЛЬНУЮ ТОЧКУ , Т.Е. ИЗ ЛЮБОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ПОС-ТИ {Хη} МОЖНО ВЫДЕЛИТЬ СХОДЯЩУЮСЯ ПОС-ТЬ

Вопрос 4

Пос-ть называется ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ если для любого положительного числа ε найдется номер N , обеспечивающий справедливость нер-ва :

| X n+p – Xn | < ε

Для всех номеров n , удоволетв условию n≥N , и всех натуральных чисел р

СВОЙСТВО 1 : любая фундаментальная пос-ть является ограниченной

СВОЙСТВО 2: для любого числа ε >0 каждый эл-т Хη фундаментальной пос-ти {Хη} с достаточно большим номером n содержит в своей ε-окрестности ( Хn-ε, Xn +ε ) все последующие эл-ты Xn+1 , Xn+2 , Xn+3 …. ‘этой пос-ти

ТЕОРЕМА16 ( КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОЙ ПОС-ТИ ) – ДЛЯ ТОГО ЧТОБЫ ПОС-ТЬ {Хη} БЫЛА СХОДЯШЕЙСЯ , НЕОХОДИМО И ДОСТАТОЧНО , ЧТОБЫ ОНА БЫЛА ФУНДОМЕНТАЛЬНОЙ

Вопрос 5

ПРЕДЕЛ Ф-ИИ ПО ГЕЙНЕ

ЧИСЛО b НАЗЫВАЕТСЯ ПРЕДЕЛОМ Ф-ИИ у=f(x) В ТОЧКЕ а ( ИЛИ ПРИ х → а ) , ЕСЛИ ДЛЯ ЛЮБОЙ ПОС-ТИ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА х1 , х2 , х3 , … Хn, …. , сходящаяся к а и состоящая из чисел Хn , отличных от а , соответств пос-ть значений ф-ии f(x1) , f(x2) , … f (Xn) , сходящихся к числу b

ПРЕДЕЛ Ф-ИИ ПО КОШИ :

Число b называется ПРИДЕЛОМ ФУНКЦИИ y=f(x) , в точке а ( или при х → а ) , если для любого положительного числа ε найдется отвечающее ему положительное число δ такое , что для всех значений аргумента х , удовлетворяющих условию 0<|x-a|<δ , справедливо нер-во :

| f(x) –b| < ε

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВОГО ( СООТВ ЛЕВОГО ) ПРЕДЕЛА Ф-ИИ ПО ГЕЙНЕ: число b называется ПРАВЫМ ПРЕДЕЛОМ ( соотв левым ) ф-ии y=f(x) , в точке a , если для любой пос-ти значений аргумента {Хη} , сходящийся к а , и состоящей из чисел больших а ( соотв меньших а ) , соответствующая пос-ть значений { f(x) } сходится к числу b

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВОГО ( СООТВ ЛЕВОГО ) ПРЕДЕЛА Ф-ИИ ПО КОШИ

число b называется ПРАВЫМ ПРЕДЕЛОМ ( соотв левым ) ф-ии y=f(x) , в точке a , если для любого положительного числа ε н айдется отвечающее ему положительное число δ такое , что для всех значений аргумента , удовлетв условию а<x<δ+а ( соответ а-δ<x<а ) справедливо нер-вл

| f(x) –b| < ε

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА Ф-ИИ х→оо ПО ГЕЙНЕ

Число б называется ПРЕДЕЛОМ Ф-ИИ при х→оо , если для любой бесконечно большой пос-ти значений аргумента {Хη} соответствующая пос-ть значений ф-ии { f(x) } сходится к числу b

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА Ф-ИИ х→оо ПО КОШИ

Число б называется ПРЕДЕЛОМ Ф-ИИ при х→оо , если для любого полож числа ε н айдется отвечающее ему положительное число δ такое , что для всех значений аргумента , удовлетв условию |x|>δ справедливо нер-во

| f(x) –b| < ε